Question

【題目】某海警基地碼頭O的正東方向40海里處有海礁界碑M，過點(diǎn)M且與OM成（即北偏西）的直線l在在此處的一段為領(lǐng)海與公海的分界線（如圖所示），在碼頭O北偏東方向領(lǐng)海海面上的A處發(fā)現(xiàn)有一艘疑似走私船（可疑船）停留. 基地指揮部決定在測(cè)定可疑船的行駛方向后，海警巡邏艇從O處即刻出發(fā)，按計(jì)算確定方向以可疑船速度的2倍航速前去攔截，假定巡邏艇和可疑船在攔截過程中均未改變航向航速，將在P處恰好截獲可疑船.

（1）如果O和A相距6海里，求可疑船被截獲處的點(diǎn)P的軌跡；

（2）若要確保在領(lǐng)海內(nèi)捕獲可疑船（即P不能在公海上）．則、之間的最大距離是多少海里？

Answer 1

【答案】（1）軌跡是以(4，4)為圓心，4為半徑的圓；(2) 15(－1)

【解析】

（1）由題意知點(diǎn)A坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P（x，y），利用|OP|=2|AP|列方程求得點(diǎn)P的軌跡方程；（2）求得直線l的方程，設(shè)|OA|=t、點(diǎn)P（x，y），利用|OP|=2|AP|求得點(diǎn)P的軌跡方程，利用點(diǎn)到直線的距離列不等式求出O、A間的最遠(yuǎn)距離．

解：（1）設(shè)可疑船能被截獲的點(diǎn)為P(x，y)，由題意得OP=2AP，OA=6 (海里)，∠ AOx=，點(diǎn)A的坐標(biāo)(3，3)，則有

化簡(jiǎn)得(x－4)2+(y－4)2=16，軌跡是以(4，4)為圓心，4為半徑的圓．

（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)(t，t)，t＞0，可疑船被截獲處的點(diǎn)為P(x，y)，

由題意得OP=2AP，即有，化簡(jiǎn)得 因?yàn)?/span>M(40，0)，l的傾斜角，因此直線方程為l：x+y－40=0．由題意，點(diǎn)A在領(lǐng)海內(nèi)，因此t+t－40＜0．即0＜t＜ ．P的軌跡與直線沒有公共點(diǎn)，則軌跡圓心到分界線距離 ，即 |t－5|＞，解之得t＞ (不合，舍去)或0＜t＜．又因?yàn)?/span>OA=2t，因此OA的最大距離為15(－1)(海里)．