Question

【題目】從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50人測量身高．據(jù)測量，被測學生身高全部介于155 cm到195 cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155，160)；第二組[160，165)；…；第八組[190，195]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列．

（Ⅰ）估計這所學校高三年級全體男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人數(shù)；

（Ⅱ）求第六組、第七組的頻率并補充完整頻率分布直方圖(用虛線標出高度)；

（III）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩人，記他們的身高分別為x、y，求事件“|x－y|≤5”的概率．

Answer 1

【答案】（I）人；（II）見解析；（III）．

【解析】

試題分析：（I）由頻率分布直方圖前五組頻率為，而從后三組頻率為，由此能求出這所學校高三年級全體男生身高在以上（含）的人數(shù)；（II）由頻率分布直方圖得第八組頻率為，人數(shù)為，設第六組人數(shù)為，在第七組人數(shù)為，從而求出第六組的人數(shù)為，第七組人數(shù)為，由此能求出其完整的頻率分布直方圖；（III）由（II）知身高在內(nèi)的人數(shù)為，身高在內(nèi)的人數(shù)為，由此列舉法能求出事件“”的概率．

試題解析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得前五組頻率為(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三組頻率為1－0.82＝0.18，人數(shù)為0.18×50＝9，

這所學校高三年級全體男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人數(shù)為800×0.18＝144．

（II）由頻率分布直方圖得第八組頻率為0.008×5＝0.04，人數(shù)為0.04×50＝2，設第六組人數(shù)為，則第七組人數(shù)為9－2－＝，又，

解得，所以第六組人數(shù)為4，第七組人數(shù)為3，

頻率分別等于0.08，0.06．

頻率/組距分別等于0.016，0.012．

其完整的頻率分布直方圖如圖．

（III）由（II）知身高在[180，185)內(nèi)的人數(shù)為4，設為，身高在[190，195]內(nèi)的人數(shù)為2，設為A、B，若x，y∈[180，185)時，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6種情況；

若x，y∈[190，195]時，有AB共1種情況；

若x，y分別在[180，185)和[190，195]內(nèi)時，有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共8種情況．

所以基本事件總數(shù)為6＋1＋8＝15，事件“”所包含的基本事件個數(shù)有6＋1＝7，

∴