已知函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)設(shè),若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
(1)-;(2){aa>1或a=-3}
解析試題分析:(1)根據(jù)偶函數(shù)可知f(x)=f(-x),取x=-1代入即可求出k的值;
(2)函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點(diǎn),則方程f(x)=g(x)有且只有一個實(shí)根,化簡可得2x+=a•2x?a有且只有一個實(shí)根,令t=2x>0,則轉(zhuǎn)化成方程(a?1)t2?at?1=0有且只有一個正根,討論a=1,以及△=0與一個正根和一個負(fù)根,三種情形,即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
試題解析:(1)∵函數(shù) f(x)= (+1)+kx(k∈R)是偶函數(shù)
∴ f(-x)= (+1)-kx=-kx= (4x+1)-(k+1)x= (4x+1)+kx恒成立
∴-(k+1)=k,則k=- 4分
(2)g(x)= (a·-a),
函數(shù) f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點(diǎn),即方程 f(x)=g(x)只有一個解
由已知得 (4x+1)-x= (a·-a)
∴= (a·-a),∴且= 8分
設(shè)。
設(shè)h(t)=(a-1)t2-at-1,若a-1>0,∵h(yuǎn)(0)=-1<0,∴恰好有一正解,a>1滿足題意。
若a-1=0,a=1,不滿足題意。
若a-1<0,即a<1時(shí),=0的a=-3或a=,
當(dāng)a=-3時(shí)t=滿足題意。
當(dāng)a=時(shí),t=-2(舍去) 11分
綜上:a的取值范圍是{aa>1或a=-3} 12分
考點(diǎn):對數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)f(x)=-ax2,a∈R.
(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的零點(diǎn);
(2)當(dāng)a>0時(shí),求證:函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn);
(3)若函數(shù)f(x)有四個不同的零點(diǎn),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù):,其中是儀器的月產(chǎn)量.
(注:總收益=總成本+利潤)
(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù);
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí),公司所獲利潤最大?最大利潤為多少元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=-x+log2.
(1)求f()+f(-)的值.
(2)當(dāng)x∈(-a,a],其中a∈(0,1),a是常數(shù)時(shí),函數(shù)f(x)是否存在最小值?若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知二次函數(shù)f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.
(1)判斷命題“對于任意的a∈R(R為實(shí)數(shù)集),方程f(x)=1必有實(shí)數(shù)根”的真假,并寫出判斷過程.
(2)若y=f(x)在區(qū)間(-1,0)及(0,)內(nèi)各有一個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如果對任意實(shí)數(shù)x,y,都有f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,
(1)求f(2),f(3),f(4)的值.
(2)求+++…+++的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位:m).如示意圖,垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.
(1)該小組已測得一組α,β的值,算出了tan α=1.24,tan β=1.20,請據(jù)此算出H的值;
(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后,認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位:m),使α與β之差較大,可以提高測量精度.若電視塔的實(shí)際高度為125 m,試問d為多少時(shí),α-β最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=,x∈[-1,1],函數(shù)g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值為h(a).
(1)求h(a);
(2)是否存在實(shí)數(shù)m、n同時(shí)滿足下列條件:
①m>n>3;
②當(dāng)h(a)的定義域?yàn)閇n,m]時(shí),值域?yàn)閇n2,m2]?若存在,求出m、n的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某單位擬建一個扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示),該扇環(huán)面是由以點(diǎn)為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點(diǎn)的兩條直線段圍成.按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)面的周長為30米,其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米,圓心角為(弧度).
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)已知在花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時(shí),直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米,弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米.設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求出為何值時(shí),取得最大值?
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