設(shè)函數(shù)fn（x）=Cn2+Cn3x+Cn4x2+…+Cnnxn-2（n∈N，n≥2），當(dāng)x＞-1，且x≠0時，證明：fn（x）＞0恒成立．
分析：要證fn（x）＞0恒成立，因為x＞-1，且x≠0，所以只需證（1+x）n＞1+nx，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
解答：證明：要證fn（x）＞0恒成立，∵x＞-1，且x≠0，∴只需證cn0+cn1•x+cn2•x2+…+cnnxn＞1+nx，即證Cn2+Cn3x+Cn4x2+…+Cnnxn-2（（1+x）n＞1+nx
①當(dāng)n=2時，顯然成立．
②設(shè)當(dāng)n=k時成立，即 （1+x）k ＞1+kx
則當(dāng)n=k+1時有，（1+x）k+1=（1+x）k •（1+x）＞=（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x
也成立．
 所以對任意nn∈N，n≥2，（1+x）n＞1+nx成立，即fn（x）＞0恒成立．
點評：本題的關(guān)鍵是將所要證明的不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明，應(yīng)注意數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)fn（x）=xn+bx+c（n∈N*，b，c∈R）
（Ⅰ）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：fn（x）在區(qū)間（
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，1）內(nèi)存在唯一的零點；
（Ⅱ）設(shè)n=2，若對任意x1，x2∈[-1，1]，均有|f2（x1）-f2（x2）丨≤4，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•陜西）設(shè)函數(shù)fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）
（1）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：fn（x）在區(qū)間(
1
2
，1)內(nèi)存在唯一的零點；
（2）設(shè)n=2，若對任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設(shè)xn是fn（x）在(
1
2
，1)內(nèi)的零點，判斷數(shù)列x2，x3，…，xn?的增減性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）
（1）設(shè)n＞2，b=1，c=-1，證明：fn（x）在區(qū)間（
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，1）內(nèi)存在唯一的零點；
（2）設(shè)n為偶數(shù)，|fn（-1）|≤1，|fn（1）|≤1，求3b+c的最小值和最大值；
（3）設(shè)n=2，若對任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤9，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）
（1）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：fn（x）在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點；
（2）設(shè)n=2，若對任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設(shè)xn是fn（x）在內(nèi)的零點，判斷數(shù)列x2，x3，…，xn的增減性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇省淮安市盱眙縣新海高級中學(xué)高三（上）10月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）
（1）設(shè)n＞2，b=1，c=-1，證明：fn（x）在區(qū)間（，1）內(nèi)存在唯一的零點；
（2）設(shè)n為偶數(shù)，|fn（-1）|≤1，|fn（1）|≤1，求3b+c的最小值和最大值；
（3）設(shè)n=2，若對任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤9，求b的取值范圍．

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