Question

設(shè)函數(shù)f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N^*，b，c∈R）
（Ⅰ）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：f_n（x）在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)n=2，若對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f₂（x₁）-f₂（x₂）丨≤4，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）表示出f_n（x），根據(jù)零點(diǎn)判定定理可得函數(shù)在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)存在零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)單調(diào)，從而可得零點(diǎn)的唯一性；
（Ⅱ）對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f₂（x₁）-f₂（x₂）丨≤4等價(jià)于f₂（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M=f（x）_max-f（x）_min≤4，按照對(duì)稱軸在區(qū)間[-′1，1]的外邊、內(nèi)部進(jìn)行分類討論，可得函數(shù)的最大值、最小值及最大值與最小值的差．

解答：解：（Ⅰ）n≥2，b=1，c=-1時(shí)，f_n（x）=xⁿ+x-1，
∵fn(

1

2

)•f_n（1）=(

1

2n

-

1

2

)×1＜0，
∴f_n（x）在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)存在零點(diǎn)，
又f′n(x)=nxn-1+1＞0，
∴f_n（x）在區(qū)間（

1

2

，1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
故f_n（x）在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
當(dāng)n=2時(shí)，f2(x)=x2+bx+c，
（Ⅱ）對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f₂（x₁）-f₂（x₂）丨≤4等價(jià)于f₂（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M=f（x）_max-f（x）_min≤4，
據(jù)此分類討論如下：
（1）當(dāng)|

b

2

|＞1，即|b|＞2時(shí)，M=|f₂（1）-f₂（-1）|=2|b|＞4，與題設(shè)矛盾；
（2）當(dāng)-1≤-

b

2

＜0，即0＜b≤2時(shí)，M=f2(1)-f2(-

b

2

)=(

b

2

+1)2≤4恒成立；
（3）當(dāng)0＜-

b

2

≤1，即-2≤b≤0時(shí)，M=f2(-1)-f2(-

b

2

)=(

b

2

-1)2≤4恒成立；
綜上知-2≤b≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)判定定理、函數(shù)恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值是解決恒成立問題的常用方法．