設函數(shù)fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R)
(1)設n>2,b=1,c=-1,證明:fn(x)在區(qū)間(
35
,1)內存在唯一的零點;
(2)設n為偶數(shù),|fn(-1)|≤1,|fn(1)|≤1,求3b+c的最小值和最大值;
(3)設n=2,若對任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤9,求b的取值范圍.
分析:(1)將n>2,b=1,c=-1代入可得fn(x)=xn+x-1,結合指數(shù)函數(shù)的性質可得fn′(x)=nxn-1+1>0在(
3
5
,1)上恒成立,進而判斷出函數(shù)在區(qū)間上單調,分析區(qū)間兩端點的函數(shù)值符號關系,進而根據(jù)零點存在定理,可得答案.
(2)由,|fn(-1)|≤1,|fn(1)|≤1,利用待定系數(shù)法結合不等式的基本性質,可得3b+c的范圍,進而求出3b+c的最小值和最大值;
(3)將n=2,根據(jù)|f2(x1)-f2(x2)|≤9,分類討論不同情況下b的取值范圍,綜合討論結果,可得b的取值范圍.
解答:解:(1)由n>2,b=1,c=-1,得fn(x)=xn+x-1
∴fn′(x)=nxn-1+1>0在(
3
5
,1)上恒成立,
從而fn(x)=xn+x-1在(
3
5
,1)單調遞增,
又fn(1)=1>0,fn
3
5
)=(
3
5
n-
2
5
<(
3
5
2-
2
5
<0,
即fn(x)在區(qū)間(
3
5
,1)內存在唯一的零點.
(2)因為|fn(-1)|≤1⇒-1≤1-b+c≤1⇒0≤b-c≤2
|fn(1)|≤1⇒-1≤1+b+c≤1⇒-2≤b+c≤0
又∵3b+c=(b-c)+2(b+c)
∴-4≤3b+c≤2
即3b+c的最小值為-4,最大值為2
(3)當n=2時,f2(x)=x2+bx+c
(Ⅰ)當b≥2或b≤-2時,即-
b
2
≤-1或-
b
2
≥1,此時
只需滿足|f2(1)-f2(-1)|=|2b|≤9
∴-
9
2
≤b≤
9
2
,
即b∈[-
9
2
,-2]∪[2,
9
2
]
(Ⅱ)當0≤b<2時,即-1<-
b
2
≤0,此時
只需滿足f2(1)-f2-
b
2
)≤9,即b2+4b-32≤0
解得:-8≤b<4,
即b∈[0,2)
(Ⅲ)當-2<b<0時,即0<-
b
2
<1,此時
只需滿足f2(-1)-f2-
b
2
)≤9,即b2-4b-32≤0
解得:-4≤b≤8,
即b∈(-2,0)
綜上所述:b∈[-
9
2
,
9
2
]
點評:本題考查的知識點是零點存在定理,導數(shù)法判斷函數(shù)的單調性,待定系數(shù)法求范圍,及函數(shù)恒成立問題,是函數(shù)與導數(shù)的綜合應用,難度比較大,運算量也比較大.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)fn(x)=xn+x-1,其中n∈N*,且n≥2,給出下列三個結論:
①函數(shù)f3(x)在區(qū)間(
1
2
,1)內不存在零點;
②函數(shù)f4(x)在區(qū)間(
1
2
,1)內存在唯一零點;
③設xn(n>4)為函數(shù)fn(x)在區(qū)間(
1
2
,1)內的零點,則xn<xn+1
其中所有正確結論的序號為
②③
②③

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)fn(x)=1+
x
1!
+
x2
2!
+…+
xn
n!
,n∈N*

(1)證明:e-xf3(x)≤1;
(2)證明:當n為偶數(shù)時,函數(shù)y=fn(x)的圖象與x軸無交點;當n為奇數(shù)時,函數(shù)y=fn(x)的圖象與x軸有且只有一個交點.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

設函數(shù)fn(x)=xn+x-1,其中n∈N*,且n≥2,給出下列三個結論:
①函數(shù)f3(x)在區(qū)間(
1
2
,1)內不存在零點;
②函數(shù)f4(x)在區(qū)間(
1
2
,1)內存在唯一零點;
③設xn(n>4)為函數(shù)fn(x)在區(qū)間(
1
2
,1)內的零點,則xn<xn+1
其中所有正確結論的序號為______.

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科目:高中數(shù)學 來源:高考真題 題型:解答題

設函數(shù)fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R)。
(1)設n≥2,b=1,c=-1,證明:fn(x)在區(qū)間內存在唯一的零點;
(2)設n=2,若對任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求b的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,設xn是fn(x)在內的零點,判斷數(shù)列x2,x3,…,xn…的增減性。

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