分析:(1)將n>2,b=1,c=-1代入可得f
n(x)=x
n+x-1,結合指數(shù)函數(shù)的性質可得f
n′(x)=nx
n-1+1>0在(
,1)上恒成立,進而判斷出函數(shù)在區(qū)間上單調,分析區(qū)間兩端點的函數(shù)值符號關系,進而根據(jù)零點存在定理,可得答案.
(2)由,|f
n(-1)|≤1,|f
n(1)|≤1,利用待定系數(shù)法結合不等式的基本性質,可得3b+c的范圍,進而求出3b+c的最小值和最大值;
(3)將n=2,根據(jù)|f
2(x
1)-f
2(x
2)|≤9,分類討論不同情況下b的取值范圍,綜合討論結果,可得b的取值范圍.
解答:解:(1)由n>2,b=1,c=-1,得f
n(x)=x
n+x-1
∴f
n′(x)=nx
n-1+1>0在(
,1)上恒成立,
從而f
n(x)=x
n+x-1在(
,1)單調遞增,
又f
n(1)=1>0,f
n(
)=(
)
n-
<(
)
2-
<0,
即f
n(x)在區(qū)間(
,1)內存在唯一的零點.
(2)因為|f
n(-1)|≤1⇒-1≤1-b+c≤1⇒0≤b-c≤2
|f
n(1)|≤1⇒-1≤1+b+c≤1⇒-2≤b+c≤0
又∵3b+c=(b-c)+2(b+c)
∴-4≤3b+c≤2
即3b+c的最小值為-4,最大值為2
(3)當n=2時,f
2(x)=x
2+bx+c
(Ⅰ)當b≥2或b≤-2時,即
-≤-1或
-≥1,此時
只需滿足|f
2(1)-f
2(-1)|=|2b|≤9
∴-
≤b≤
,
即b∈[-
,-2]∪[2,
]
(Ⅱ)當0≤b<2時,即-1<
-≤0,此時
只需滿足f
2(1)-f
2(
-)≤9,即b
2+4b-32≤0
解得:-8≤b<4,
即b∈[0,2)
(Ⅲ)當-2<b<0時,即0<
-<1,此時
只需滿足f
2(-1)-f
2(
-)≤9,即b
2-4b-32≤0
解得:-4≤b≤8,
即b∈(-2,0)
綜上所述:b∈[-
,
]
點評:本題考查的知識點是零點存在定理,導數(shù)法判斷函數(shù)的單調性,待定系數(shù)法求范圍,及函數(shù)恒成立問題,是函數(shù)與導數(shù)的綜合應用,難度比較大,運算量也比較大.