Question

【題目】設(shè)是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，.

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.

①試求最小的正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，都有成立；

②是否存在正整數(shù) ，使得成立？若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）①最小的正整數(shù)；②存在正整數(shù)，使得成立.

【解析】

試題分析：

（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）①，

可得數(shù)列的前2n項(xiàng)和，設(shè),則，時(shí)，，即時(shí)，，數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞增，而，所以，即可得出最小的正整數(shù)．②由，， ，，，，，.按的奇偶性分情況： 1°當(dāng)同時(shí)為偶數(shù)時(shí)，由①可知； 2°當(dāng)同時(shí)為奇數(shù)時(shí)，時(shí)，，數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞增，不成立； 3°當(dāng)為偶數(shù)，為奇數(shù)時(shí)，，不成立； 4°當(dāng)為奇數(shù)，為偶數(shù)時(shí)，顯然時(shí)，不成立；綜合即可得出使得成立的正整數(shù).

試題解析：

（1）由，，

得，，

設(shè)的公比為，的公差為，

由，

得，

即，消去，得，

解得或，

又，

，

得.

（2）①，

，

，

，

設(shè),

則，

所以數(shù)列單調(diào)遞增，則時(shí)，，

即時(shí)，，數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞增，

而，所以當(dāng)時(shí)，，

綜上，最小的正整數(shù).

②法一：，

，

，

，

，

，

，

.

1.當(dāng)同時(shí)為偶數(shù)時(shí)，由①可知；

2.當(dāng)同時(shí)為奇數(shù)時(shí)，設(shè),

則，

所以數(shù)列單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，

即時(shí)，，數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞增，

而，

故當(dāng)同時(shí)為奇數(shù)時(shí)，不成立；

3.當(dāng)為偶數(shù)，為奇數(shù)時(shí)，顯然時(shí)，不成立，

若，則，

，，

由2.可知，，

當(dāng)為偶數(shù)，為奇數(shù)時(shí)，不成立；

4.當(dāng)為奇數(shù)，為偶數(shù)時(shí)，顯然時(shí)，不成立，

若，則，

若，

則，

即，時(shí)，不成立，

若，即，

由①中數(shù)列的單調(diào)性，可知，

設(shè)，

恒成立，

所以數(shù)列單調(diào)遞增，

則當(dāng)時(shí)，，

，

時(shí)也不成立；

綜上1.2.3.4.，存在正整數(shù)，使得成立.

法二：可以證明當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，余下略.