【題目】如圖，四邊形
與四邊形
都是直角梯形，
，
，
，四邊形
為菱形，
．
（1）求證：平面
平面
；
（2）若二面角
的余弦值為
，求
的長．
【答案】（1）見解析（2）2
【解析】
（1）取
中點
，連
交
于
，連
，可證得
平面
，可得
在菱形中，
，可得
平面
，同時可證得四邊形
是平行四邊形，則
，可得
平面，可得證明；
（2）以
所在直線分別為
軸，
軸，
軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由空間向量法及二面角
的余弦值為
，可得
的長.
證明（1）：取中點，連交于，連．
，
，
，
，
平面
平面
，
，
在菱形中，，
又
，
平面，
平面
分別是
的中點，
，
，
又
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，則，
平面，
又
平面
，平面
平面
（2）解：由（1）得
平面，
，
以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
設
，則
，
，
，
，
，
，
，
設
是平面
的一個法向量，
則
即
取
，得
，
設
是平面
的一個法向量，
則
即
取
，得
，
∵二面角的余弦值為．
，解得
．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在邊長為
的正方形中
，
、
分別為
、
的中點，沿
將矩形
折起使得
，如圖2所示，點
在上，
，
、
分別為
、
中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某中學學生對《中華人民共和國交通安全法》的了解情況，調查部門在該校進行了一次問卷調查（共12道題），從該校學生中隨機抽取40人，統計了每人答對的題數，將統計結果分成
，
，
，
，
，
六組，得到如下頻率分布直方圖.
（1）若答對一題得10分，未答對不得分，估計這40人的成績的平均分（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（2）若從答對題數在
內的學生中隨機抽取2人，求恰有1人答對題數在內的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某品種一批樹苗生長情況，在該批樹苗中隨機抽取了容量為120的樣本，測量樹苗高度（單位：
），經統計，其高度均在區(qū)間
內，將其按
分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．其中高度為
及以上的樹苗為優(yōu)質樹苗．
|
| 合計 | |
優(yōu)質樹苗 | 20 | ||
非優(yōu)質樹苗 | 60 | ||
合計 |
（1）求圖中
的值，并估計這批樹苗高度的中位數和平均數（同一組數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（2）已知所抽取的這120棵樹苗來自于
，
兩個試驗區(qū)，部分數據如上列聯表：將列聯表補充完整，并判斷是否有
的把握認為優(yōu)質樹苗與
，
兩個試驗區(qū)有關系，并說明理由．
參考數據：
| 0.15 | 0．10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式：
，其中
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某客戶考察了一款熱銷的凈水器，使用壽命為十年，過濾由核心部件濾芯來實現.在使用過程中，濾芯需要不定期更換，其中濾芯每個200元.如圖是根據100臺該款凈水器在十年使用期內更換的濾芯的件數制成的柱狀圖.（以100臺凈水器更換濾芯的頻率代替1臺凈水器更換濾芯發(fā)生的概率）
（1）估計一臺凈水器在使用期內更換濾芯的件數的眾數和中位數.
（2）估計一臺凈水器在使用期內更換濾芯的件數大于10的概率.
（3）已知上述100臺凈水器在購機的同時購買濾芯享受5折優(yōu)惠（使用過程中如需再購買無優(yōu)惠），假設每臺凈水器在購機的同時購買濾芯10個，這100臺凈水器在使用期內，更換濾芯的件數記為a，所需費用記為y，補全下表，估計這100臺凈水器在使用期內購買濾芯所需總費用的平均數.
100臺該款凈水器在試用期內更換濾芯的件數a | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數 | ||||
費用y |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，橢圓
：
的離心率為
，左、右頂點分別為
、
，線段
的長為4.點
在橢圓上且位于第一象限，過點，分別作
，
，直線
，
交于點
.
（1）若點的橫坐標為-1，求點的坐標；
（2）直線與橢圓的另一交點為
，且
，求
的取值范圍．
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