【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）記t=lnx+x，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點的個數(shù)判斷a的范圍即可．

（1）定義域為：，

當時，.

∴在時為減函數(shù)；在時為增函數(shù).

（2）記，則在上單增，且.∴ .∴在上有兩個零點等價于在上有兩個零點.

①在時，在上單增，且，故無零點；②在時，在上單增，又，，故在上只有一個零點；

③在時，由可知在時有唯一的一個極小值.

若，，無零點；若，，只有一個零點；若時，，而，由于在時為減函數(shù)，可知：時，.從而，∴在和上各有一個零點.綜上討論可知：時有兩個零點，即所求的取值范圍是.

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