Question

已知a，b為正實數(shù)．
（1）若函數(shù)f(x)=

lnx

x

，求f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若e＜a＜b（e為自然對數(shù)的底），求證：a^b＞b^a；（3）求滿足a^b=b^a（a≠b）的所有正整數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)f(x)=

lnx

x

的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

1-lnx

x2

，再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（2）利用（1）的結(jié)論，若e＜a＜b，則f（a）＞f（b），即

lna

a

＞

lnb

b

，即lna^b＞lnb^a，再由函數(shù)y=lnx的單調(diào)性即可得證
（3）利用（1）的結(jié)論當(dāng)x∈（0，e）時，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時，f（x）為減函數(shù)，若a^b=b^a（a≠b），則a、b一定分布在e的兩邊，通過列舉求值可得正整數(shù)a，b的值

解答：解：（1）∵f(x)=

lnx

x

，則f′(x)=

1-lnx

x2

，
當(dāng)0＜x＜e時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞e時，f′（x）＜0．
∴當(dāng)x∈（0，e）時，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時，f（x）為減函數(shù)．
（2）由上知，若e＜a＜b，f（a）＞f（b），得：

lna

a

＞

lnb

b

，∴blna＞alnb，即lna^b＞lnb^a，∴a^b＞b^a；
（3）由a^b=b^a得：

lna

a

=

lnb

b

．
∵當(dāng)x∈（0，e）時，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時，f（x）為減函數(shù)，∴

ln1

1

＜

ln2

2

＜

lne

e

＞

ln3

3

＞

ln4

4

＞

ln5

5

＞…，
發(fā)現(xiàn)

ln2

2

=

ln4

4

，
∴a=4，b=2或a=2，b=4．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，并利用單調(diào)性證明不等式，解題時要認(rèn)真觀察，發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)與已知的聯(lián)系，巧妙而準(zhǔn)確的解決問題