Question

已知a，b為正實(shí)數(shù)．
（1）求證：

a2

b

+

b2

a

≥a+b；
（2）利用（I）的結(jié)論求函數(shù)y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

（0＜x＜1）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先利用比較法證明a³+b³≥a²b+ab²，再將該不等式同除以ab，即證．
（2）利用（1）中的結(jié)論知y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

≥（1-x）+x=1，即y的最小值為1．

解答：解：（1）（a³+b³）-（a²b+ab²）=（a³-a²b）-（ab²-b³）
=a²（a-b）-b²（a-b）
=（a²-b²）（a-b）
=（a+b）（a-b）²．
因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，所以a+b＞0，（a-b）²≥0，
所以a³+b³≥a²b+ab²
又a²b+ab²=ab（a+b），
所以

a3+b3

ab

≥a+b即

a2

b

+

b2

a

≥a+b
（2）∵0＜x＜1∴1-x＞0，∴由（1）中的結(jié)論知y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

≥（1-x）+x=1，
當(dāng)且僅當(dāng)1-x=x即x=

1

2

時(shí)，y的最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查不等式證明中常用的方法：比較法和綜合法．解答過程中關(guān)鍵在于要把問題變形，才能找到思路．