【題目】一個創(chuàng)業(yè)青年租用一塊邊長為4百米的等邊田地如圖養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜,田地內(nèi)擬修建筆直小路MNAP,其中M,N分別為ACBC的中點,點PCN上,規(guī)劃在小路MNAP的交點O(OM、N不重合處設立售蜜點,圖中陰影部分為蜂巢區(qū),空白部分為蜂源植物生長區(qū),A,N為出入口小路的寬度不計為節(jié)約資金,小路MO段與OP段建便道,供蜂源植物培育之用,費用忽略不計為車輛安全出入,小路AO段的建造費用為每百米5萬元,小路ON段的建造費用為每百米4萬元.

(Ⅰ)若擬修的小路AO段長為百米,求小路ON段的建造費用;

(Ⅱ)設, 的值,使得小路AO段與ON段的建造總費用最。

【答案】(Ⅰ)4萬元;(Ⅱ),小路AO段與ON段的建造總費用最小為萬元.

【解析】

(Ⅰ)在中用余弦定理計算的長度,故可得的長度后即得段的建筑費用.

(Ⅱ)在中用正弦定理計算的長度后得到,令,將其變形為,利用輔助角公式可得,從而得到,驗證等號成立后可得何時取最小值.

(Ⅰ)在中,,

(舎去),故

所以段的建筑費用為萬元.

(Ⅱ)由正弦定理得:在中,

,

設小路段的建造總費用為,

,

,且,

.

,得,故,即(舍去).

時,,故,其中

故由,符合題意.

答:,小路AO段與ON段的建造總費用最小為萬元.

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