Question

設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，并且對于所有的自然數(shù)n，a_n與2的等差中項(xiàng)等于S_n與2的等比中項(xiàng).
(1)寫出數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng).
(2)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式(寫出推證過程).
(3)令b_n=(n∈N^*)，求 (b₁+b₂+b₃+…+b_n－n).

Answer 1

(1) 數(shù)列的前3項(xiàng)為2，6，10 ，(2) a_n=4n－2 ，(3)1

(1)由題意，當(dāng)n=1時(shí)，有，S₁=a₁，
∴，解得a₁=2 當(dāng)n=2時(shí)，有，S₂=a₁+a₂，將a₁=2代入，整理得(a₂－2)²=16，由a₂＞0，解得a₂=6.
當(dāng)n=3時(shí)，有，S₃=a₁+a₂+a₃，
將a₁=2，a₂=6代入，整理得(a₃－2)²=64，由a₃＞0，解得a₃=10.
故該數(shù)列的前3項(xiàng)為2，6，10.
(2）解法一:由(1）猜想數(shù)列{a_n} 有通項(xiàng)公式a_n=4n－2.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=4n－2，(n∈N^*）.
①當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)?×1－2=2，，又在(1)中已求出a₁=2，所以上述結(jié)論成立 
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即有a_k=4k－2，由題意，有，將a_k=4k－2. 代入上式，解得2k=，得S_k=2k²，
由題意，有，S_k+1=S_k+a_k+1，
將S_k=2k²代入得()²=2(a_k+1+2k²)，
整理得a_k+1²－4a_k+1+4－16k²=0，由a_k+1＞0，解得a_k+1=2+4k，
所以a_k+1=2+4k=4(k+1)－2，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，上述結(jié)論成立.
根據(jù)①②，上述結(jié)論對所有的自然數(shù)n∈N^*成立.
解法二:由題意知，(n∈N^*) 整理得，S_n=(a_n+2)²,
由此得S_n+1=(a_n+1+2)²，∴a_n+1=S_n+1－S_n=［(a_n+1+2)²－(a_n+2)²］.
整理得(a_n+1+a_n）(a_n+1－a_n－4)=0，
由題意知a_n+1+a_n≠0，∴a_n+1－a_n=4，
即數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，其中a₁=2，公差d=4.
∴a_n=a₁+(n－1)d=2+4(n－1)，即通項(xiàng)公式為a_n=4n－2.
解法三:由已知得,(n∈N^*)　　　　�、�，
所以有　　　　　　　　　　　　②，
由②式得，
整理得S_n+1－2·+2－S_n=0，
解得，
由于數(shù)列{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，而，
因而，
即{S_n}是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列.
所以=+(n－1)=n,S_n=2n²，
故a_n=即a_n=4n－2(n∈N^*).
(3)令c_n=b_n－1，則c_n=