Question

【題目】已知函數(shù)其中

（1）當時,求曲線在點處的切線方程;

（2）當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（3）若對于恒成立,求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）

【解析】

（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，由點斜式方程即可寫出切線方程；

（2）求出導數(shù)，依據(jù)在上單調(diào)遞增，且，分別解不等式以及，即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；

（3）由題意得在上恒成立，設(shè)，用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，可得．再設(shè)，求出函數(shù)的最大值，即為的最大值．

（1）由，得，

所以，．

所以曲線在點處的切線方程為．

（2）由，得．

因為，且 在上單調(diào)遞增，所以

由得，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增 ，

由得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．

綜上，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（3）由，得在上恒成立．

設(shè)，

則．

由，得，（）．

隨著變化，與的變化情況如下表所示：

		0
	↘	極小值	↗

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

所以函數(shù)的最小值為．

由題意，得，即 ．

設(shè)，則．

因為當時，； 當時，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

所以當時，．

所以當，，即，時，有最大值為．