【題目】設(shè)圓的圓心為,直線過點且與軸不重合,交圓兩點,過點的平行線交于點.

(1)求的值;

(2)設(shè)點的軌跡為曲線,直線與曲線相交于,兩點,與直線相交于點,試問在橢圓上是否存在一定點,使得,成等差數(shù)列(其中,,分別指直線,,的斜率).若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

(1)由,可得,進而得到

,再由半徑,即可求解;

(2)由(1)知得的方程,設(shè)直線的方程為,代入橢圓的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系和,成等差數(shù)列,求得

,由對任意的該等式恒成立,求得,即可得到答案.

(1)因為圓的圓心為,所以

所以,所以,

所以

又因為圓的半徑為8,即,

所以.

(2)由(1)知,曲線是以,為焦點的橢圓,且長軸長為8,

所以曲線的方程為,

設(shè)直線的方程為,

代入橢圓化簡得

設(shè),,則,

所以

,

因為,,成等差數(shù)列,所以,

因為,所以,

化簡得,

對任意的該等式恒成立,所以

所以存在點,使得,,成等差數(shù)列.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)求證:函數(shù)是偶函數(shù);

(2)設(shè)求關(guān)于的函數(shù)時的值域的表達式;

(3)若關(guān)于的不等式時恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】某歌手大賽進行電視直播,比賽現(xiàn)場有6名特約嘉賓給每位參賽選手評分,場內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺給每位參賽選手評分.某選手參加比賽后,現(xiàn)場嘉賓評分情況如下表;場內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評分,組織方將觀眾評分按照,,分組,繪成頻率分布直方圖如下:

嘉賓

評分

96

95

96

89

97

98

1)從觀眾中任取三人,求這三人中恰有1人分數(shù)在2人分數(shù)在的概率;

2)從嘉賓中隨機選3人,記3人中分數(shù)不低于96分的人數(shù)為,求的期望;

3)嘉賓評分的平均數(shù)為,場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為,試寫出的大小關(guān)系(不需要證明).

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【題目】設(shè)是橢圓的左、右頂點,為橢圓上異于、的一點.

1是橢圓的上頂點,且直線與直線垂直,求點軸的距離;

2)過點的直線(不過坐標原點)與橢圓交于兩點,且點軸上方,點軸下方,若,求直線的斜率.

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【題目】已知函數(shù).其中是自然對數(shù)的底數(shù).

1)求函數(shù)在點處的切線方程;

2)若不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】設(shè)橢圓E:a,b>0)過M2,) ,N(,1)兩點,O為坐標原點,

1)求橢圓E的方程;

2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,?若存在,寫出該圓的方程,若不存在說明理由.

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【題目】維生素C又叫抗壞血酸,是一種水溶性維生素,是高等靈長類動物與其他少數(shù)生物的必需營養(yǎng)素.維生素C雖不直接構(gòu)成腦組織,也不向腦提供活動能源,但維生素C有多種健腦強身的功效,它是腦功能極為重要的營養(yǎng)物.維生素C的毒性很小,但食用過多仍可產(chǎn)生一些不良反應(yīng).根據(jù)食物中維C的含量可大致分為:含量很豐富:鮮棗、沙棘、獼猴桃、柚子,每100克中的維生素C含量超過100毫克;比較豐富:青椒、桂圓、番茄、草莓、甘藍、黃瓜、柑橘、菜花,每100克中維生素C含量超過50毫克;相對豐富:白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、莧菜、菜苔、豌豆、豇豆、蘿卜,每100克中維生素C含量超過30~50毫克.現(xiàn)從獼猴桃、柚子兩種食物中測得每100克所含維生素C的量(單位:)得到莖葉圖如圖所示,則下列說法中不正確的是(

A.獼猴桃的平均數(shù)小于柚子的平均數(shù)

B.獼猴桃的方差小于柚子的方差

C.獼猴桃的極差為32

D.柚子的中位數(shù)為121

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【題目】已知橢圓的短軸長為,離心率為.

(1)求橢圓的方程;

(2)若動直線與橢圓有且僅有一個公共點,分別過兩點作,垂足分別為,且記為點到直線的距離, 為點到直線的距離,為點到點的距離,試探索是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,請說明理由.

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【題目】已知拋物線的焦點為軸上方的點在拋物線上,且,直線與拋物線交于,兩點(點,不重合),設(shè)直線,的斜率分別為.

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(Ⅱ)當(dāng)時,求證:直線恒過定點并求出該定點的坐標.

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