【題目】已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an﹣1(n∈N+),a1=2.
(1)求證:數(shù)列{an﹣1}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{nan}的前n項和Sn(n∈N+).

【答案】
(1)證明:∵an+1=2an﹣1(n∈N+),

∴an+1﹣1=2(an﹣1)(n∈N+),

又∵a1﹣1=2﹣1=1,

∴數(shù)列{an﹣1}是首項為1、公比為2的等比數(shù)列,

∴an﹣1=12n1=2n1,

∴an=2n1+1;


(2)解:∵an=2n1+1,

∴nan=n2n1+n,

設(shè)Tn=120+221+322+…+n2n1,

∴2Tn=121+222+323+…+(n﹣1)2n1+n2n

兩式相減得:﹣Tn=(1+21+22+23+…+2n1)﹣n2n

= ﹣n2n

=(1﹣n)2n﹣1,

∴Tn=(n﹣1)2n+1,

∴Sn=Tn+ =(n﹣1)2n+1+


【解析】(1)通過對an+1=2an﹣1(n∈N+)變形可知數(shù)列{an﹣1}是首項為1、公比為2的等比數(shù)列,進而可得結(jié)論;(2)通過an=2n1+1可知nan=n2n1+n,利用錯位相減法計算即得結(jié)論.
【考點精析】關(guān)于本題考查的等比數(shù)列的通項公式(及其變式)和數(shù)列的前n項和,需要了解通項公式:;數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系才能得出正確答案.

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