【題目】設橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率 .已知點 到這個橢圓上的點的最遠距離為 ,求這個橢圓方程.

【答案】解:設橢圓方程為 ,M(x,y)為橢圓上的點,由 得a=2b,
,
若﹣b>﹣ ,則當y=﹣b時|PM|2最大,即
∴b= ,故矛盾.
若﹣b≤﹣ ≤b,即 時, 時,
4b2+3=7,
b2=1,從而a2=4.
所求方程為
【解析】先設橢圓方程為 ,M(x,y)為橢圓上的點,由離心率得a=2b,利用兩點間的距離公式表示出|PM|2 ,則當y=﹣b時|PM|2最大,這種情況不可能;若 時, 時4b2+3=7,從而求出b值,最后求得所求方程.
【考點精析】關于本題考查的橢圓的概念和橢圓的標準方程,需要了解平面內與兩個定點,的距離之和等于常數(shù)(大于)的點的軌跡稱為橢圓,這兩個定點稱為橢圓的焦點,兩焦點的距離稱為橢圓的焦距;橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能得出正確答案.

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