如圖，圓柱內(nèi)有一個三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O直徑。

（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）設(shè)AB=，在圓柱內(nèi)隨機選取一點，記該點取自于三棱柱內(nèi)的概率為。
（i）當(dāng)點C在圓周上運動時，求的最大值；
（ii）記平面與平面所成的角為，當(dāng)取最大值時，求的值。

（Ⅰ）因為平面ABC，平面ABC，所以，
因為AB是圓O直徑，所以，又，所以平面，
而平面，所以平面平面。
（Ⅱ）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為，則AB=，故三棱柱的體積為
=，又因為，
所以=，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
從而，而圓柱的體積，
故=當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以的最大值是。
（ii）由（i）可知，取最大值時，，于是以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），
因為平面，所以是平面的一個法向量，
設(shè)平面的法向量，由，故，
取得平面的一個法向量為，因為，
所以。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，,,分別為、的中點，且.

(Ⅰ) 求證：平面;
(Ⅱ)求三棱錐.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分16分）如圖，在四棱錐中，底面是且邊長為的菱形，側(cè)面是等邊三角形，且平面垂直于底面．
（1）若為的中點，求證：平面；
（2）求證：；
（3）求二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐中，⊥平面，⊥平面，，.
(1) 證明：；
(2) 點為線段上一點，求直線與平面所成角的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

（．（9分）如圖所示三棱錐P—ABC中，異面直線PA與BC所成的角為，二面角P—BC—A為，△PBC和△ABC的面積分別為16和10，BC＝４. 求：
（１）PA的長；（２）三棱錐P—ABC的體積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

、（10分）一個正三棱柱的底面邊長是4，高是6，過下底面的一條邊和該邊所對的上底面的頂點作截面，求這個截面面積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)、、是三個不同的平面，a、b是兩條不同的直線，給出下列4個命題：
①若a∥，b∥，則a∥b； ②若a∥，b∥，a∥b，則∥；③若a⊥，b⊥，a⊥b，則⊥；④若a、b在平面內(nèi)的射影互相垂直，則a⊥b. 其中正確命題是（  ）
A．③B．④C．①③D．②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

(本小題共12分)直四棱柱中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長為4。
（1）求證：平面平面；
（2）求點到平面的距離d；
（3）求三棱錐的體積V。
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在長方體中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點
（Ⅰ）求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；
（Ⅱ）證明：平面ABM⊥平面A1B1M1
 

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