已知數(shù)列{a
n}滿足
．
（Ⅰ）求數(shù)列{a
n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b
n}的前n項和為
，試求數(shù)列
的前n項和T
n；
（Ⅲ）記數(shù)列
的前n項積為
，試證明：
．
【答案】
分析：（I）由a
n-1a
n+a
na
n+1=2a
n-1a
n+1，兩邊同除以a
na
n-1a
n+1即可
．而
，故
是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
（II）利用b
n=
即可得到b
n，可得
=
，利用“錯位相減法”即可得到T
n；
（III）因為
．利用“累乘求積”即可得出
=
．進而即可證明．
解答：解：（Ⅰ）由
．
而
，
因此
是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
從而
．
（Ⅱ）當n=1時，
．
當n≥2時，
．
而b
1也符合上式，故
，從而：
．
所以
．
將上面兩式相減，可得：
．
（Ⅲ）因為
．
故
．
由于n≥2，n∈N
*，故
，從而
，即
．
點評：本題考查數(shù)列的遞推公式的處理、等差數(shù)列的通項公式和前n項和求通項以及“錯位相減法”、“累乘求積”等基礎(chǔ)知識，突出考查了學(xué)生變形的能力，化歸與轉(zhuǎn)化的思想以及創(chuàng)新意識，是一道十分重視基礎(chǔ)但又有比較好區(qū)分度的中等題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}滿足：a
1=1且
an+1=， n∈N*．
（1）若數(shù)列{b
n}滿足：
bn=(n∈N*)，試證明數(shù)列b
n-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a
nb
n}的前n項和S
n；
（3）數(shù)列{a
n-b
n}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}滿足
a1+a2+a3+…+an=2n+1則{a
n}的通項公式
．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}滿足：a
1=
，且a
n=
（n≥2，n∈N
*）．
（1）求數(shù)列{a
n}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a
1•a
2•…a
n＜2•n！
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}滿足a
n+1=|a
n-1|（n∈N
*）
（1）若
a1=，求a
n；
（2）若a
1=a∈（k，k+1），（k∈N
*），求{a
n}的前3k項的和S
3k（用k，a表示）
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
（2012•北京模擬）已知數(shù)列{a
n}滿足a
n+1=a
n+2，且a
1=1，那么它的通項公式a
n等于
2n-1
2n-1
．
查看答案和解析>>
閱讀快車系列答案