Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的上頂點坐標(biāo)為，離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓上的點的橫坐標(biāo)為，且位于第一象限，點關(guān)于軸的對稱點為點，是位于直線異側(cè)的橢圓上的動點.

①若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值；

②若動點滿足，試探求直線的斜率是否為定值？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②為定值，見解析

【解析】

（1）直接根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解；

（2）由（1）可得點坐標(biāo)為，則，

①設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，設(shè)，得韋達定理，表示出四邊形面積，從而求出四邊形面積最大值為；

②由題意可得直線斜率與直線斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，設(shè)，得兩根之和，求得，設(shè)，同理可得，根據(jù)斜率計算公式得直線的斜率為定值．

解：（1）由題意，可得，

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由（1）可得點坐標(biāo)為，則，

①設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，

化簡可得，

設(shè)，則，

∴當(dāng)時，四邊形面積最大值為；

②由題意，因為，則直線斜率與直線斜率互為相反數(shù)，

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，

化簡可得，設(shè)，

則，又，所以，

設(shè)，同理可得，

所以，

所以直線的斜率為定值．