【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知平面直角坐標(biāo)系,以為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點的極坐標(biāo)為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)寫出點的直角坐標(biāo)及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若為曲線上的動點,求中點到直線的距離的最小值.
【答案】(1)的直角坐標(biāo),的直角坐標(biāo)方程為;(2).
【解析】
試題分析:(1)由可得點的直角坐標(biāo),根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系消去參數(shù),即得得到曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)用坐標(biāo)表示數(shù)的坐標(biāo),由點到直線的距離公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得距離的最小值.
試題解析:(1) 點的直角坐標(biāo),由,得,
∴曲線的直角坐標(biāo)方程為.
(2)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的普通方程為,
設(shè),則,那么點到直線的距離
,
∴點到直線的最小距離為.
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【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù)
(1)比較的大小,并說明理由.(提示: )
(2)若,且對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在和處的切線互相平行,求的值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè),若對任意,均存在,使得,求的取值范圍.
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【題目】已知圓內(nèi)有一點為過點且傾斜角為的弦.
(1)當(dāng)時,求弦的長;
(2)當(dāng)弦被平分時,圓經(jīng)過點且與直線相切于點,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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【題目】已知橢圓的焦距為,左、右頂點分別為、,是橢圓上一點, 記直線、的斜率為、,且有.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于、兩點, 以、為直徑的圓經(jīng)過原點, 且線段的垂直平分線在軸上的截距為,求直線的方程.
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【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為,右頂點為,上頂點為,已知.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)為橢圓上異于其頂點的一點,以線段為直徑的圓經(jīng)過點,經(jīng)過原點的直線與該圓相切,求直線的斜率.
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