Question

【題目】已知函數．

（1）若曲線在和處的切線互相平行，求的值；

（2）求的單調區(qū)間；

（3）設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析（3）

【解析】試題分析：（1）根據導數幾何意義得列等量關系，解得；（2）先研究函數零點： ；當時，一個零點；當時，兩個零點，此時再比較兩個零點大小，需分三種情況討論：最后列表分析導函數符號變化規(guī)律，確定函數單調區(qū)間；（3）任意存在性問題，一般先轉化為對應函數最值問題： ，易確定的最大值為，此時可繼續(xù)分類討論求的最大值，也可以再利用變量分離轉化為對應函數最值： 的最大值.

試題解析：（1）由題意知， ，即，解得.

（2）.①當時， ，在區(qū)間上， ；在區(qū)間上， ，故的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.②當時，在區(qū)間和上， ；在區(qū)間上， ，故的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是.③當時， ，故的單調遞增區(qū)間是.④當時, ,在區(qū)間和上， ；在區(qū)間上， ，故的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是.

（3）由題意知，在上有,由已知得， ，由（2）可知，①當時, 在上單調遞增，故，所以，解得,故.②當時, 在上單調遞增，在上單調遞減，故,由可知，即，

綜上所述， .