【題目】為半橢圓的左、右兩個頂點,為上焦點,將半橢圓和線段合在一起稱為曲線
(1)求的外接圓圓心的坐標
(2)過焦點的直線與曲線交于兩點,若,求所有滿足條件的直線的方程
(3)對于一般的封閉曲線,曲線上任意兩點距離的最大值稱為該曲線的“直徑”,如圓的“直徑”就是通常的直徑,橢圓的“直徑”就是長軸的長,求該曲線的“直徑”
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
(1)先根據(jù)已知條件求出的三邊長,可得為邊長為的等邊三角形,再利用等邊三角形的性質,即可求得外接圓圓心的坐標;
(2)設出方程,與橢圓方程聯(lián)立方程組,得出,用弦長公式求出的長,用含的式子表示,根據(jù),即可求出值;
(3)先設曲線上兩動點的坐標,代入兩點間距離公式,再利用放縮法,以及橢圓上點的范圍即可求出兩動點間距離的范圍,進而求出“直徑”長.
(1)由題意可知:
則,, 故為邊長為的等邊三角形
根據(jù)等邊三角形外心和重心重合,
三角形的重心坐標公式為: ,
設的外接圓圓心的坐標為,
,
故外接圓圓心的坐標為:.
(2)
記橢圓的上頂點坐標為
①若直線與曲線的兩交點,一個在橢圓上,另一個在線段上,如圖.
,,即此時,
只有直線符合題意.
②設點兩點都在橢圓上,
直線
將橢圓和直線聯(lián)立方程組,消掉:
則: 得 即
由韋達定理可得:
由弦長公式得: 解得:
當時,直線
當時,直線
綜上所述,滿足題意的直線有三條分別為:.
(3)設曲線上兩動點
顯然至少有一點在橢圓上時才能取得最大
不妨設
則
等號成立時:,或,
由兩點距離公式可得:
故曲線的“直徑”為:.
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【題目】(本小題滿分12分)
已知橢圓:的左、右頂點分別為A,B,其離心率,點為橢圓上的一個動點,面積的最大值是.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過橢圓右頂點的直線與橢圓的另一個交點為,線段的垂直平分線與軸交于點,當時,求點的坐標.
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【題目】已知數(shù)列滿足: , , .
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設數(shù)列的前項和為,且滿足,試確定的值,使得數(shù)列為等差數(shù)列;
(3)將數(shù)列中的部分項按原來順序構成新數(shù)列,且,求證:存在無數(shù)個滿足條件的無窮等比數(shù)列.
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【題目】下列命題正確的是
(1)命題“,”的否定是“,”;
(2)l為直線,,為兩個不同的平面,若,,則;
(3)給定命題p,q,若“為真命題”,則是假命題;
(4)“”是“”的充分不必要條件.
A. (1)(4)B. (2)(3)C. (3)(4)D. (1)(3)
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【題目】為保護農民種糧收益,促進糧食生產,確保國家糧食安全,調動廣大農民糧食生產的積極性,從2004年開始,國家實施了對種糧農民直接補貼.通過對2014~2018年的數(shù)據(jù)進行調查,發(fā)現(xiàn)某地區(qū)發(fā)放糧食補貼額(億元)與該地區(qū)糧食產量(萬億噸)之間存在著線性相關關系.統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2014年 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 |
補貼額億元 | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
糧食產量萬億噸 | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)請根據(jù)如表所給的數(shù)據(jù),求出關于的線性回歸直線方程;
(2)通過對該地區(qū)糧食產量的分析研究,計劃2019年在該地區(qū)發(fā)放糧食補貼額7億元,請根據(jù)(1)中所得的線性回歸直線方程,預測2019年該地區(qū)的糧食產量.
(參考公式:,)
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【題目】對于曲線C所在平面上的定點,若存在以點為頂點的角,使得對于曲線C上的任意兩個不同的點A,B恒成立,則稱角為曲線C相對于點的“界角”,并稱其中最小的“界角”為曲線C相對于點的“確界角”.曲線相對于坐標原點的“確界角”的大小是 _________.
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【題目】已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設,,是橢圓上關于軸對稱的任意兩個不同的點,連結交橢圓于另一點,證明直線與軸相交于定點;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,過點的直線與橢圓交于,兩點,求的取值范圍.
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