Question

【題目】如圖，欲在一四邊形花壇內挖一個等腰三角形的水池，且，已知四邊形中，是等腰直角三角形，米，是等腰三角形，，的大小為，要求的三個頂點在花壇的邊緣上（即在四邊形的邊上），設點到水池底邊的距離為，水池的面積為平方米.

（1）求的長；

（2）試將表示成關于的函數，并求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1）14；（2），最大值為；

【解析】

(1) 設與交于,在兩個三角形中計算出,再相加即可得到;

(2)分和兩種情況討論得到關于的函數,再分段求最大值,即可得到.

(1)設與交于,如圖所示:

因為,,所以為的垂直平分線,所以為的中點,

所以,

在直角三角形中,,

因為 ,

所以,

所以,

所以,

解得或(舍去),

所以,

所以.

(2)因為,所以時的垂直平分線,,

所以當時,點在邊上,所以,

所以,此時當時,取得最大值36,

當時,點在邊上,此時,

所以,

所以,

所以當 時,取得最大值,最大值為.

因為,

所以當時,的最大值為.

綜上所述:,的最大值為.