Question

【題目】已知，.

（1）若直線與圓：相切，求被圓：所截得弦長(zhǎng)取最小值時(shí)直線的斜率；

（2）時(shí)，：表示圓，問(wèn)是否存在一條直線，使得它和所有的圓都沒(méi)有公共點(diǎn)？如果存在，求出直線，若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若滿(mǎn)足不等式和等式的點(diǎn)集是一條線段，求取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，：；（3）.

【解析】

(1)畫(huà)出圖像分析可得, 直線與直線垂直時(shí)被圓：所截得弦長(zhǎng)取最小值.

再根據(jù)垂直的直線斜率之積為-1求解即可.
(2)當(dāng)時(shí)代入有

,即又,故猜測(cè)存在一條直線,使得它和所有的圓都沒(méi)有公共點(diǎn),再證明即可.

(3) 的解集為或兩條直線, 為兩圓之間的部分,數(shù)形結(jié)合列式求解即可.

(1)由,

即圓心,半徑

即圓心,半徑

因?yàn)楫?dāng)被圓：所截得弦長(zhǎng)取最小值時(shí),圓心到直線的距離最大.

又到的距離,當(dāng)且僅當(dāng)直線與直線垂直時(shí)取得為最大值,此時(shí)斜率,故直線斜率
(2) 存在,：和所有的圓都沒(méi)有公共點(diǎn).

證明：由題：,即

,

變形得

即,

故：

若與有交點(diǎn),則

有解.上式減去倍的下式有：

有解.

即圓與直線有交點(diǎn),圓半徑

但圓心到距離 .

故圓與直線無(wú)交點(diǎn).

即和所有的圓都沒(méi)有公共點(diǎn).

(3)由題得的解集為或兩條直線,得且

即為兩圓 與之間的部分.

又若不等式和等式的點(diǎn)集是一條線段,則需注意臨界條件.

當(dāng)與圓相切時(shí),或,

當(dāng)與圓相切時(shí),或

又因?yàn)?/span>到所求的所有的距離都大于半徑,故無(wú)需考慮圓對(duì)形成線段的影響.

故