Question

【題目】某大學(xué)藝術(shù)專(zhuān)業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；
（Ⅱ）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50）內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知：分?jǐn)?shù)小于70的頻率為：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4
故從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率為0.4；
（Ⅱ）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，
故樣本中分?jǐn)?shù)小于40的頻率為：0.05，
則分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50）內(nèi)的頻率為：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，
估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50）內(nèi)的人數(shù)為400×0.05=20人，
（Ⅲ）樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為：0.6，
由于樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．
故分?jǐn)?shù)不小于70的男生的頻率為：0.3，
由樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，
故男生的頻率為：0.6，
即女生的頻率為：0.4，
即總體中男生和女生人數(shù)的比例約為：3：2．
【解析】（Ⅰ）根據(jù)頻率=組距×高，可得分?jǐn)?shù)小于70的概率為：1﹣（0.04+0.02）×10；
（Ⅱ）先計(jì)算樣本中分?jǐn)?shù)小于40的頻率，進(jìn)而計(jì)算分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50）內(nèi)的頻率，可估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50）內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．進(jìn)而得到答案．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用頻率分布直方圖和用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過(guò)作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過(guò)各小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小來(lái)表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，它可以讓我們更清楚的看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況，并由此估計(jì)總體的分布情況即可以解答此題．