Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，且橢圓過點，離心率；點在橢圓上，延長與橢圓交于點，點是中點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若是坐標原點，記與的面積之和為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）依題意，根據(jù)題設(shè)條件，列出關(guān)于的方程組，求得的值，即可得到橢圓的標準方程；

（2）由題意，求得，當直線的斜率不存在時，求得；當直線的斜率存在時，設(shè)方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得弦長公式和點到直線的距離公式，得出面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

（1）依題意，，則，解得，，.

故橢圓的方程為；.

（2）由分別為的中點，故.

故與同底等高，故，，

當直線的斜率不存在時，其方程為，此時.

當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為：，

設(shè)，顯然直線不與軸重合，即，

聯(lián)立解得，

則，故，

故，

點到直線的距離，

所以，令，

故，

故的最大值為.