【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣x,g(x)=ex﹣ax﹣1(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;
(2)當x>0時,f(x)≤g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵g(x)=ex﹣ax﹣1,∴g'(x)=ex﹣a

①若a≤0,g'(x)>0,g(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增;

②若a>0,當x∈(﹣∞,lna]時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當x∈(lna,+∞)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.


(2)解:當x>0時,x2﹣x≤ex﹣ax﹣1,即

,則

令φ(x)=ex(x﹣1)﹣x2+1(x>0),則φ'(x)=x(ex﹣2)

當x∈(0,ln2)時,φ'(x)<0,φ(x)單調(diào)遞減;

當x∈(ln2,+∞)時,φ'(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增

又φ(0)=0,φ(1)=0,

∴當x∈(0,1)時,φ(x)<0,即h'(x)<0,∴h(x)單調(diào)遞減;

當x∈(0,+∞)時,φ(x)=(x﹣1)(ex﹣x﹣1>0,即h'(x)>0,

∴h(x)單調(diào)遞增,

∴h(x)min=h(1)=e﹣1,

∴實數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,e﹣1].


【解析】(1)求出g'(x)=ex﹣a,由a≤0和a>0分類討論,由此能求出結(jié)果.(2)當x>0時, ,則 令φ(x)=ex(x﹣1)﹣x2+1(x>0),則φ'(x)=x(ex﹣2),由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍.
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

練習冊系列答案
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【題目】在某班舉行的“慶五一”聯(lián)歡晚會開幕前已排好有8個不同節(jié)目的節(jié)目單,如果保持原來的節(jié)目相對順序不變,臨時再插進去三個不同的新節(jié)目,且插進的三個新節(jié)目按順序出場,那么共有__________種不同的插入方法(用數(shù)字作答).

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直方圖中的值;

試估計所抽取的數(shù)學成績的平均數(shù);

)試根據(jù)樣本估計該校高一學生期末數(shù)學考試成績的概率.

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【題目】若集合A{x|2x3},B{x|x+2)(xa)<0},則a1”AB____條件.

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【題目】已知:已知函數(shù)

Ⅰ)若曲線y=f(x)在點P(2,f(2))處的切線的斜率為﹣6,求實數(shù)a;

Ⅱ)若a=1,求f(x)的極值;

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【題目】某科研課題組通過一款手機APP軟件,調(diào)查了某市1000名跑步愛好者平均每周的跑步量(簡稱“周跑量”),得到如下的頻數(shù)分布表

周跑量(km/周)

人數(shù)

100

120

130

180

220

150

60

30

10

(1)在答題卡上補全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖:

注:請先用鉛筆畫,確定后再用黑色水筆描黑

(2)根據(jù)以上圖表數(shù)據(jù)計算得樣本的平均數(shù)為,試求樣本的中位數(shù)(保留一位小數(shù)),并用平均數(shù)、中位數(shù)等數(shù)字特征估計該市跑步愛好者周跑量的分布特點

(3)根據(jù)跑步愛好者的周跑量,將跑步愛好者分成以下三類,不同類別的跑者購買的裝備的價格不一樣,如下表:

周跑量

小于20公里

20公里到40公里

不小于40公里

類別

休閑跑者

核心跑者

精英跑者

裝備價格(單位:元)

2500

4000

4500

根據(jù)以上數(shù)據(jù),估計該市每位跑步愛好者購買裝備,平均需要花費多少元?

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【題目】已知A、F分別是橢圓C: + =1(a>b>0)的左頂點、右焦點,點P為橢圓C上一動點,當PF⊥x軸時,AF=2PF.
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(2)若橢圓C存在點Q,使得四邊形AOPQ是平行四邊形(點P在第一象限),求直線AP與OQ的斜率之積;
(3)記圓O:x2+y2= 為橢圓C的“關(guān)聯(lián)圓”.若b= ,過點P作橢圓C的“關(guān)聯(lián)圓”的兩條切線,切點為M、N,直線MN的橫、縱截距分別為m、n,求證: + 為定值.

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