【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面, , , , 分別為線段上的點(diǎn),且, , .
(1)求證: 平面;
(2)若與平面所成的角為,求平面與平面所成的銳二面角.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)30°.
【解析】試題分析:
(1)由條件可得為直角三角形,且.故由余弦定理可得,所以,從而,又由條件可得,故平面.(2)由兩兩互相垂直可建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合條件可求得平面的法向量和平面的法向量,根據(jù)兩法向量夾角的余弦值可得銳二面角的大。
試題解析:
(1)證明:連,由題意知.
∴
在中,由余弦定理得
,
∴,
∴,
又因?yàn)?/span>,
∴
又 ,
又, ,
∴平面.
(2)由(1)知兩兩互相垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
由與平面所成的角為,知,
則
∴
因?yàn)?/span>
由(1)知 平面,
∴平面
∴為平面的一個(gè)法向量.
設(shè)平面的法向量為,
則 ∴,
令,則,
∴為平面的一個(gè)法向量.
∴
故平面與平面的銳二面角的余弦值為,
所以平面與平面的銳二面角為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣x,g(x)=ex﹣ax﹣1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)≤g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一只袋中裝有編號(hào)為1,2,3,…,n的n個(gè)小球,n≥4,這些小球除編號(hào)以外無(wú)任何區(qū)別,現(xiàn)從袋中不重復(fù)地隨機(jī)取出4個(gè)小球,記取得的4個(gè)小球的最大編號(hào)與最小編號(hào)的差的絕對(duì)值為ξn , 如ξ4=3,ξ5=3或4,ξ6=3或4或5,記ξn的數(shù)學(xué)期望為f(n).
(1)求f(5),f(6);
(2)求f(n).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)不等式﹣2<|x﹣1|﹣|x+2|<0的解集為M,a、b∈M,
(1)證明:| a+ b|< ;
(2)比較|1﹣4ab|與2|a﹣b|的大小,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),().
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:當(dāng)時(shí),對(duì)于任意,總有成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓C: =1(a>b>0),作直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),M為線段PQ的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)直線l的斜率為k1 , 直線OM的斜率為k2 , k1k2=﹣ .
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)D(﹣ ,0),且滿足 =2 ,當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),求橢圓C的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a1 , 2a2 , a3+6成等差數(shù)列,且a42=9a1a5 ,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=( an+1)an , 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校高中畢業(yè)班有男生900人,女生600人,學(xué)校為了對(duì)高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況進(jìn)行分析,從高三年級(jí)按照性別進(jìn)行分層抽樣,抽取200名學(xué)生成績(jī),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示:
分?jǐn)?shù)段(分) | [50,70) | [70,90) | [90,110) | [110,130) | [130,150) | 總計(jì) |
頻數(shù) | 20 | 40 | 70 | 50 | 20 | 200 |
(1)若成績(jī)90分以上(含90分),則成績(jī)?yōu)榧案,?qǐng)估計(jì)該校畢業(yè)班平均成績(jī)及格學(xué)生人數(shù);
(2)如果樣本數(shù)據(jù)中,有60名女生數(shù)學(xué)成績(jī)合格,請(qǐng)完成如下數(shù)學(xué)成績(jī)與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與性別有關(guān)”.
女生 | 男生 | 總計(jì) | |
及格人數(shù) | 60 | ||
不及格人數(shù) | |||
總計(jì) |
參考公式:K2= .
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.050 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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