【題目】已知A、F分別是橢圓C: + =1(a>b>0)的左頂點、右焦點,點P為橢圓C上一動點,當PF⊥x軸時,AF=2PF.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)若橢圓C存在點Q,使得四邊形AOPQ是平行四邊形(點P在第一象限),求直線AP與OQ的斜率之積;
(3)記圓O:x2+y2= 為橢圓C的“關聯(lián)圓”.若b= ,過點P作橢圓C的“關聯(lián)圓”的兩條切線,切點為M、N,直線MN的橫、縱截距分別為m、n,求證: + 為定值.
【答案】
(1)
解:由PF⊥x軸,知xP=c,代入橢圓C的方程,
得: + =1,解得 ,
又AF=2PF,∴a+c= ,
∴a2+ac=2b2,即a2﹣2c2﹣ac=0,
∴2e2+e﹣1=0,
由e>0解得橢圓C的離心率e= .
(2)
解:∵四邊形AOPQ是平行四邊形,∴PQ=a,且PF∥x軸,
∴ ,代入橢圓C的方程,解得 ,
∵點P在第一象限,∴yp= b,
同理可得xQ=﹣ ,yQ= b,
∴kAPkOQ= =﹣ ,
由(1)知e= ,得 = ,∴kAPkOQ=﹣ .
(3)
證明:由(1)知e= = ,又b= ,解得a=2,
∴橢圓C的方程為 =1,
圓O的方程為x2+y2= ,①…
連接OM,ON,由題意可知,OM⊥PM,ON⊥PN,
∴四邊形OMPN的外接圓是以OP 為直徑的圓,
設P(x0,y0),則四邊形OMPN的外接圓方程為(x﹣ )2+(y﹣ )2= ( ),
即 =0,②…
①﹣②,得直線MN的方程為xx0+yy0= ,
令y=0,則m= ,令x=0,則n= .
∴ + =49( ),
∵點P在橢圓C上,∴ + =1,
∴ =49(為定值).…
【解析】(1)由PF⊥x軸,知xP=c,代入橢圓C的方程,得 ,由此能求出橢圓C的離心率.(2)由四邊形AOPQ是平行四邊形,知PQ=a,且PF∥x軸,從而yp= b,yQ= b,由此能求出kAPkOQ . (3)由(1)知e= = ,又b= ,從而橢圓C的方程為 =1,圓O的方程為x2+y2= ,連接OM,ON,由題意可知,OM⊥PM,ON⊥PN,從而四邊形OMPN的外接圓是以OP 為直徑的圓,由此能證明 為定值.
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點,需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知橢圓C: + =1(a>b>0)的焦距為2,直線y=x被橢圓C截得的弦長為 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設點M(x0 , y0)是橢圓C上的動點,過原點O引兩條射線l1 , l2與圓M:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2= 分別相切,且l1 , l2的斜率k1 , k2存在.
①試問k1k2是否定值?若是,求出該定值,若不是,說明理由;
②若射線l1 , l2與橢圓C分別交于點A,B,求|OA||OB|的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣x,g(x)=ex﹣ax﹣1(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;
(2)當x>0時,f(x)≤g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥底面ABCD,且∠ABC= .
(1)求證:B1C1∥平面BCD1;
(2)求證:平面A1ABB1⊥平面BCD1 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】合肥一中、六中為了加強交流,增進友誼,兩校準備舉行一場足球賽,由合肥一中版畫社的同學設計一幅矩形宣傳畫,要求畫面面積為,畫面的上、下各留空白,左、右各留空白.
(1)如何設計畫面的高與寬的尺寸,才能使宣傳畫所用紙張面積最小?
(2)設畫面的高與寬的比為,且,求為何值時,宣傳畫所用紙張面積最小?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)=xex﹣ax2(a∈R).
(1)若函數(shù)g(x)= 是奇函數(shù),求實數(shù)a的值;
(2)若對任意的實數(shù)a,函數(shù)h(x)=kx+b(k,b為實常數(shù))的圖象與函數(shù)f(x)的圖象總相切于一個定點. ①求k與b的值;
②對(0,+∞)上的任意實數(shù)x1 , x2 , 都有[f(x1)﹣h(x1)][f(x2)﹣h(x2)]>0,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一只袋中裝有編號為1,2,3,…,n的n個小球,n≥4,這些小球除編號以外無任何區(qū)別,現(xiàn)從袋中不重復地隨機取出4個小球,記取得的4個小球的最大編號與最小編號的差的絕對值為ξn , 如ξ4=3,ξ5=3或4,ξ6=3或4或5,記ξn的數(shù)學期望為f(n).
(1)求f(5),f(6);
(2)求f(n).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設不等式﹣2<|x﹣1|﹣|x+2|<0的解集為M,a、b∈M,
(1)證明:| a+ b|< ;
(2)比較|1﹣4ab|與2|a﹣b|的大小,并說明理由.
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