(12分)已知橢圓.過點作圓的切線交橢圓
兩點.
(1)求橢圓的焦點坐標(biāo)和離心率;
(2)將表示為的函數(shù),并求的最大值.

(1)橢圓G的焦點坐標(biāo)為離心率為
(2)當(dāng)時,|AB|=2,所以|AB|的最大值為2.

解析試題分析:(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知a=2,b=1,,顯然易求焦點坐標(biāo)及離心率,但要注意焦點在x軸上.
(2)因為過點(m,0)作圓的切線,所以此點在圓上或在圓外,因而要對m的范圍進行討論.
然后設(shè)過點(m,0)的直線l的方程,根據(jù)直線l與圓相切,可得直線l的斜率,再與橢圓聯(lián)立,利用韋達(dá)定理和判別式,弦長公式求得弦長|AB|與m的函數(shù)關(guān)系式,再利用基本不等式求得最大值.
(1)由已知得所以
所以橢圓G的焦點坐標(biāo)為離心率為
(2)由題意知,.
當(dāng)時,切線的方程,點A、B的坐標(biāo)分別為
此時當(dāng)m=-1時,同理可得
當(dāng)時,設(shè)切線的方程為

設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為,則

又由與圓
所以

由于當(dāng)時,所以.
因為且當(dāng)時,|AB|=2,所以|AB|的最大值為2.
考點:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系,直線與橢圓的位置關(guān)系,弦長公式,基本不等式求最值.
點評:本小題第(2)問綜合性解決起來難度大,第一個要注意的時點(m,0)在圓上或圓外,因而要對m=1,m=-1,|m|>1三情況進行討論求|AB|的弦長,表示出弦長|AB|關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式后還要注意適用基本不等式求最值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(12分)已知橢圓C:以雙曲線的焦點為頂點,其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C的左、右頂點分別為點A,B,點M是橢圓C上異于A,B的任意一點.
①求證:直線MA,MB的斜率之積為定值;
②若直線MA,MB與直線x=4分別交于點P,Q,求線段PQ長度的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的焦點,長軸長6,設(shè)直線交橢圓兩點,求線段的中點坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

斜率為k的直線過點P(0,1),與雙曲線交于A,B兩點. 
(1)求實數(shù)k的取值范圍;
(2)若以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點,求k的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(12分)(12分)經(jīng)過點作直線交雙曲線、兩點,且 為 中點.
(1)求直線的方程 ;(2)求線段的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)橢圓的左、右頂點分別為、,點在橢圓上且異于、兩點,為坐標(biāo)原點.
(1)若直線的斜率之積為,求橢圓的離心率;
(2)對于由(1)得到的橢圓,過點的直線軸于點,交軸于點,若,求直線的斜率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓C的焦點F1(-,0)和F2,0),長軸長6。
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。
(2)設(shè)直線交橢圓C于A、B兩點,求線段AB的中點坐標(biāo)。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本題滿分14分)
設(shè)直線與拋物線交于不同兩點A、B,F(xiàn)為拋物線的焦點。
(1)求的重心G的軌跡方程;
(2)如果的外接圓的方程。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的右焦點為,離心率為.
(1)若,求橢圓的方程; (2)設(shè)直線與橢圓相交于兩點,分別為線段的中點.若坐標(biāo)原點在以為直徑的圓上,且,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案