【題目】已知函數(shù)f(x)aln x(a0,aR)

(1)a1,求函數(shù)f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間;

(2)若在區(qū)間(0e]上至少存在一點x0,使得f(x0)<0成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)x1時,f(x)有極小值為1;yf(x)(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增.

2a∪(e,+∞).

【解析】試題分析:(1)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù),令導(dǎo)數(shù)等于零,解方程,再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和駐點,然后列表討論,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若在區(qū)間 上存在一點 ,使得 成立,其充要條件是在區(qū)間上的最小值小于0即可.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)上的最小值,先求出導(dǎo)函數(shù) ,然后討論研究函數(shù)在上的單調(diào)性,將的各極值與其端點的函數(shù)值比較,其中最小的一個就是最小值.

試題解析:

(1)當(dāng)a1時,f(x)=-.

f(x)0,得x1,

yf(x)的定義域為(0,+),

f(x)<0,得0<x<1;由f(x)>0,得x>1.

所以x1時,f(x)有極小值為1.

yf(x)(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增.

(2)f(x)=-,且a0.

f(x)0,得x.

若在區(qū)間(0,e]上存在一點x0,使得f(x0)<0成立,

yf(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值小于0.

當(dāng)a<0時,f(x)<0x(0,e]恒成立,即yf(x)在區(qū)間(0,e]上單調(diào)遞減,

yf(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值為f(e)aln ea,由a<0,得a<,即a.

當(dāng)a>0時,

e,即0<a,則f(x)0x(0e]恒成立,

所以yf(x)在區(qū)間(0,e]上單調(diào)遞減,

yf(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值為f(e)aln ea>0,顯然,yf(x)在區(qū)間(0e]上的最小值小于0不成立.

0<<e,即a>,則有

x

f(x)

0

f(x)

極小值

所以f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值為faaln,

faalna(1ln a)<0,得

1ln a<0,解得a>e,即a(e,+)

綜上可知,a∪(e,+∞)

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