Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設，求證：當時，.

Answer 1

【答案】（1）若時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；若時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，然后分類討論，當時，的單調(diào)增區(qū)間為，當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；

（2）求出的導函數(shù) ，當時，在上單調(diào)遞增，故而在存在唯一的零點，即，則當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，從而可證得結論．

（1）解：由函數(shù)，．

得，．

若時，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

若，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

若時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

綜上，若時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

若時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；

（2）證明：，．

則 ．

當時，在上單調(diào)遞增，

又（1），，

（2），

故而在存在唯一的零點，即．

則當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增；

故而．

又，，

．

函數(shù)的對稱軸為，

因為，所以，

因為函數(shù)開口向下，，

所以，

所以.