【題目】在平面直角坐標系上,有一點列P0 , P1 , P2 , P3 , …,Pn1 , Pn , 設點Pk的坐標(xk , yk)(k∈N,k≤n),其中xk、yk∈Z,記△xk=xk﹣xk1 , △yk=yk﹣yk1 , 且滿足|△xk||△yk|=2(k∈N* , k≤n);
(1)已知點P0(0,1),點P1滿足△y1>△x1>0,求P1的坐標;
(2)已知點P0(0,1),△xk=1(k∈N* , k≤n),且{yk}(k∈N,k≤n)是遞增數(shù)列,點Pn在直線l:y=3x﹣8上,求n;
(3)若點P0的坐標為(0,0),y2016=100,求x0+x1+x2+…+x2016的最大值.

【答案】
(1)解:∵xk∈Z,yk∈Z,∴△xk,△yk∈Z,

又∵|△x1||△y1|=2,0<△x1<△y1,

∴x1=x0+△x1=0+1=1,

y1=y0+△y1=1+2=3,

∴P1的坐標為(1,3)


(2)解:∵

∴xn=x0+△x1+△x2+…+△xn=n,

又|△xk||△yk|=2,△xk=1,

∴△yk=±2,(k∈N*,k≤n),

∵yk=y0+△y1+△y2+△y3+…+△yn,

{yk}(k∈N,k≤n)是增數(shù)列,

∴yk=y0+△y1+△y2+△y3+…+△yn=1+2n,

∴pn(n,1+2n),

將Pn(n,1+2n)代入y=3x﹣8,得1+2n=3n﹣8,

解得n=9.


(3)解:∵yk=y0+△y1+△y2+△y3+…+△yn,

∴y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100,

設Tn=x0+x1+x2+…+xn

=x0+(x0+△x1)+(x0+△x1+△x2)+…+(x0+△x1+△x2+…+△xn

=n△x1+(n﹣1)△x2+…+2△xn1+△xn

∵n=2016是偶數(shù),n>100,

Tn=n△x1+(n﹣1)△x2+…+2△xn1+△xn≤2[n+(n﹣1)+…+2+1]=n2+n,

當△y1=△y2=△y3=…=△y100=1,

△y101=﹣1,…,△yn1=1,△yn=﹣1,

△x1=△x2=△x3=…=△xn=2時,(取法不唯一)

(Tnmax=n2+n,

∴x0+x1+x2+…+x2016的最大值(T2016max=20162+2016=4066272


【解析】(1)由已知得|△x1||△y1|=2,0<△x1<△y1 ,由此能示出P1的坐標.(2)求出pn(n,1+2n),將Pn(n,1+2n)代入y=3x﹣8,能求出n.(3)y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100,設Tn=x0+x1+x2+…+xn=n△x1+(n﹣1)△x2+…+2△xn1+△xn , 由此能求出x0+x1+x2+…+x2016的最大值.

練習冊系列答案
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