Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一個三等分點（靠近點），與的延長線交于點，連接．

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求二面角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

（1）建立空間直角坐標系，設(shè)，根據(jù)題意確定，，，，，找點P，D，E，F坐標，確定直線與的方向向量，根據(jù)異面直線與所成角滿足，求解，即可.

（2）根據(jù)（1）的點坐標，求平面的一個法向量為和平面的一個法向量為．由題意可知二面角為銳角，根據(jù)求出，從而計算，即可.

（1）底面是矩形，平面

，，

以為坐標原點，，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

因為是的一個三等分點（靠近點），所以，．

因為是等腰三角形，且，所以．

不妨設(shè)，則，，，．

又由平行線分線段成比例，得，所以．

所以點，，，，

則，．

設(shè)異面直線與所成角為，

則．

所以異面直線與所成角的余弦值為．

（2）建系，求點的坐標同（1），則，．

設(shè)平面的法向量為，則，得．

令，得平面的一個法向量為；

又易知平面的一個法向量為．

設(shè)二面角的大小為，由題意得為銳角，

所以，則．

所以二面角的正切值為．