【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,QAD的中點.

(Ⅰ)若PA=PD,求證:平面PQB⊥平面PAD;

(Ⅱ)點M在線段PC上,PM=tPC,試確定實數(shù)t的值,使PA∥平面MQB;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,求二面角M-BQ-C的大小.

【答案】見解析; ;(60°.

【解析】試題分析:(Ⅰ)證明平面內的直線,垂直平面內兩條相交的直線,即可證明平面平面;(Ⅱ)連,由,可得 ,再由平面推出,即可求出的值;(Ⅲ)以為坐標原點,以, , 所在的直線為, , 軸,建立空間直角坐標系,分別求出求出平面與平面的一個法向量,利用向量的夾角公式即可求解.

試題解析:證明:(Ⅰ)連接BD.

因為AD=AB∠BAD=60°,

所以△ABD為正三角形.

因為QAD的中點,

所以AD⊥BQ.

因為PA=PD,QAD中點,

所以AD⊥PQ.

BQ∩PQ=Q

所以AD⊥平面PQB.

因為,

所以平面PQB⊥平面PAD.

(Ⅱ)連接AC,交BQ于點N.

AQ∥BC,可得△ANQ∽△CNB,

所以.

因為PA∥平面MQB ,平面PAC∩平面MQB=MN,

所以PA∥MN.

所以,即,所以.

(Ⅲ)由PA=PD=AD=2,QAD的中點,則PQ⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD

所以PQ⊥平面ABCD.

Q為坐標原點,分別以QAQB,QP所在的直線為xy,z軸,建立如圖所示的坐標系,則A(1,0,0), ,Q(0,0,0), . .

設平面MQB的法向量為n=(x,y,z),

可得

因為PAMN,所以

z=1,則,y=0.

于是.

取平面ABCD的法向量m=(0,0,l),

所以.

故二面角M-BQ-C的大小為60°.

練習冊系列答案
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B. 命題的逆否命題是“若 ,則

C. 命題是真命題

D. 命題的逆命題是真命題

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9

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