【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若,求在處的切線方程;
(Ⅱ)證明:對(duì)任意正數(shù),函數(shù)和的圖像總有兩個(gè)公共點(diǎn).
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)證明見解析.
【解析】試題分析:(I)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線的斜率,再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程;(Ⅱ)函數(shù)和的圖像總有兩個(gè)公共點(diǎn),等價(jià)于 總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.變量分離得,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,結(jié)合圖像確定有兩個(gè)交點(diǎn)的條件,即得證.
試題解析:(I)時(shí),則
在處的切線的斜率
又時(shí), 即切點(diǎn),
所以在處的切線方程為:
,即
(Ⅱ)法一:
記
則(已知).
因?yàn)?/span>有意義,
所以
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
故
記
因?yàn)?/span>
所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,
故
故恒成立,即
又時(shí), 時(shí), ,
故在和各有一個(gè)零點(diǎn),
即和的圖像在和各有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
法二:函數(shù)和的圖像總有兩個(gè)公共點(diǎn),等價(jià)于 總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
顯示不是該方程的根.
當(dāng)時(shí),
記
則
再記
因?yàn)?/span>
所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減
所以
即
從而在和均單調(diào)遞增,
又時(shí), 時(shí), 時(shí), ,
又時(shí), 時(shí), 時(shí), ,
的草圖如圖:
故對(duì)任意的正數(shù),直線與的圖像總有兩個(gè)公共點(diǎn),
即方程總有兩個(gè)根,
即函數(shù)和的圖像總有兩個(gè)公共點(diǎn),命題得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,過點(diǎn)A作⊙O的切線EP交CB的延長線于P,∠PAB=35°.
(1)若BC是⊙O的直徑,求∠D的大。
(2)若∠PAB=35°,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)若PA=PD,求證:平面PQB⊥平面PAD;
(Ⅱ)點(diǎn)M在線段PC上,PM=tPC,試確定實(shí)數(shù)t的值,使PA∥平面MQB;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,求二面角M-BQ-C的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某運(yùn)輸公司有7輛可載的型卡車與4輛可載的型卡車,有9名駕駛員,建筑某段高速公路中,此公司承包了每天至少搬運(yùn)瀝青的任務(wù),已知每輛卡車每天往返的次數(shù)為型車8次, 型車6次,每輛卡車每天往返的成本費(fèi)為型車160元, 型車252元,每天派出型車和型車各多少輛,公司所花的成本費(fèi)最低?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AC⊥AB,AD⊥DC,∠DAC=60°,PA=AC=2,AB=1.
(1)求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
(2)在線段CP上是否存在一點(diǎn)E,使得DE⊥PB,若存在,求線段CE的長度,不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在正方體中,點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),平面交棱于點(diǎn).給出下列命題:
①存在點(diǎn),使得//平面;
②對(duì)于任意的點(diǎn),平面平面;
③存在點(diǎn),使得平面;
④對(duì)于任意的點(diǎn),四棱錐的體積均不變.
其中正確命題的序號(hào)是______.(寫出所有正確命題的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O,若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)O,所成的角為60°的直線A1B1和A2B2,使| A1B1|=| A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分別是這對(duì)直線與雙曲線C的交點(diǎn),則該雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A. (,2] B. [,2) C. (,+) D. [,+)
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