【題目】已知函數(shù),,為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當時,證明:,;
(2)若函數(shù)在上存在兩個極值點,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)先求導(dǎo),再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而得證;
(2)先求導(dǎo)數(shù),再討論當時,當時,函數(shù)的單調(diào)性及極值情況,再求解即可.
(1)當時,,則,
當時,,則,又因為,
所以當時,,僅時,,
所以在上是單調(diào)遞減,所以,即.
(2),因為,所以,,
①當時,恒成立,所以在上單調(diào)遞增,沒有極值點.
②當時,,令,
則在上單調(diào)遞減,因為,,
當,即時,,,
所以在上單調(diào)遞增,,,
所以,,即,所以單調(diào)遞減,無極值點;
當,即時,存在,使,
當時,,當時,,
所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在處取極大值,
因為,所以,又因為,,
若存在兩個極值點,即存在兩個變號零點,則得,得,得,
此時存在,使得,,
當,,,,,,即在處取得極小值,在處取得極大值,,為的兩個極值點,則此時.
綜上可知若函數(shù)在上存在兩個極值點,則實數(shù)的取值范圍為:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知甲盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和3個黑球,乙盒內(nèi)有大小相同的3個紅球和3個黑球,現(xiàn)從甲,乙兩個盒內(nèi)各取2個球.
(1)求取出的4個球中恰有1個紅球的概率;
(2)設(shè)ξ為取出的4個球中紅球的個數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中,用如圖所示的三角形,解釋二項和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后,法國數(shù)學(xué)家布萊士帕斯卡的著作(1655年)介紹了這個三角形,近年來,國外也逐漸承認這項成果屬于中國,所以有些書上稱這是“中國三角形”,如圖.17世紀德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”,如圖.在楊輝三角中,相鄰兩行滿足關(guān)系式:,其 中是行數(shù),.請類比上式,在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,是它的上頂點,點各不相同且均在橢圓上.
(1)若恰為橢圓長軸的兩個端點,求的面積;
(2)若,求證:直線過一定點;
(3)若,的外接圓半徑為,求的值.
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【題目】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到的圖象,若的對稱中心為坐標原點,則關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論:
①的最小正周期為 ②若的最大值為2,則
③在有兩個零點 ④在區(qū)間上單調(diào)
其中所有正確結(jié)論的標號是( )
A.①③④B.①②④C.②④D.①③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)常數(shù))滿足.
(1)求出的值,并就常數(shù)的不同取值討論函數(shù)奇偶性;
(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞減,求的最小值;
(3)在(2)的條件下,當取最小值時,證明:恰有一個零點且存在遞增的正整數(shù)數(shù)列,使得成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線的極坐標方程為,點的極坐標為,在平面直角坐標系中,直線經(jīng)過點,且傾斜角為.
(1)寫出曲線的直角坐標方程以及點的直角坐標;
(2)設(shè)直線與曲線相交于,兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線參數(shù)方程為為參數(shù)),將曲線上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>,得到曲線.
(1)求曲線的普通方程;
(2)過點且傾斜角為的直線與曲線交于兩點,求取得最小值時的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解運動健身減肥的效果,某健身房調(diào)查了20名肥胖者,健身之前他們的體重情況如三維餅圖(1)所示,經(jīng)過四個月的健身后,他們的體重情況,如三維餅圖(2)所示.對比健身前后,關(guān)于這20名肥胖者,下面結(jié)論不正確的是( )
A.他們健身后,體重在區(qū)間內(nèi)的人增加了2個
B.他們健身后,體重在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)沒有改變
C.他們健身后,20人的平均體重大約減少了8 kg
D.他們健身后,原來體重在區(qū)間內(nèi)的肥胖者體重都有減少
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