Question

【題目】如圖，在直三棱柱中， ， ，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）是否存在一點(diǎn)，使得線段平面？若存在，指出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)且，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：

（1）存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)．連接， ，由三角形中位線的性質(zhì)可得，結(jié)合線面平行的判定定理可得平面．

（2）由題意結(jié)合勾股定理可求得．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，據(jù)此計(jì)算可得二面角的正弦值為．

試題解析：

（1）存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)．證明如下：

如圖，連接， ，點(diǎn)， 分別為， 的中點(diǎn)，

所以為的一條中位線， ，

又平面， 平面，所以平面．

（2）設(shè)，則， ，

，

由，得，解得．

由題意以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸， 為軸， 為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得， ， ， ，

故， ， ， ．

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則

得

令，得平面的一個(gè)法向量，

同理可得平面的一個(gè)法向量為，

故二面角的余弦值為 ．

故二面角的正弦值為．