Question

已知數(shù)列{an}滿足a1＞0，an＋1＝2－|an|，n∈N*．

（1）若a1，a2，a3成等比數(shù)列，求a1的值；

（2）是否存在a1，使數(shù)列{an}為等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）或（2）

【解析】

試題分析：（1）首先利用遞推公式把都用表示，再根據(jù)成等比數(shù)列，列方程解出的值，注意根據(jù)絕對(duì)值的定義要對(duì)的取值范圍分類計(jì)論.

（2）對(duì)于這類開放性問題，處理的策略就是先假設(shè)存在a1，使數(shù)列{an}為等差數(shù)列，與（1）類似，根據(jù)成等差數(shù)列，有，從面得到關(guān)于的方程，方程若有解則存在，否則可認(rèn)為不存在a1，使數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

試題解析：（1）∵a1＞0，∴a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|．

當(dāng)0＜a1≤2時(shí)，a3＝2－(2－a1)＝a1，∴a12＝(2－a1)2，解得a1＝1．

當(dāng)a1＞2時(shí)，a3＝2－(a1－2)＝4－a1，∴a1(4－a1)＝(2－a1)2，解得a1＝2－（舍去）或a1＝2＋．

綜上可得a1＝1或a1＝2＋． 6分

（2）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，則

由2a2＝a1＋a3，得2(2－a1)＝a1＋(2－|2－a1|)，即|2－a1|＝3a1－2．

當(dāng)a1＞2時(shí)，a1－2＝3a1－2，解得a1＝0，與a1＞2矛盾；

當(dāng)0＜a1≤2時(shí)，2－a1＝3a1－2，解得a1＝1，從而an＝1（n∈N*），此時(shí){an}是一個(gè)等差數(shù)列；

綜上可知，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝1時(shí)，數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 12分

考點(diǎn)：1、等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義；2、分類討論的思想.