Question

把正奇數(shù)數(shù)列1，3，5，7，…中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數(shù)表：

設(shè)三角形數(shù)表中第m行的第一個數(shù)為a_m.

(1)試用m表示a_m(不要求證明)；

(2)請判斷2 007是該三角形數(shù)表中第幾行的第幾個數(shù)；

(3)已知函數(shù)f(x)=()ⁿ·(x＞0)，若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為b_n，求數(shù)列{f(b_n)}的前n項和S_n.

Answer 1

解:(1)第m行第一個數(shù),即a_m=2·+1=m²-m+1.

(2)由題意，先求使得m是不等式m²-m+1≤2 007的最大正整數(shù)解.

由m²-m+1≤2 007，得m²-m-2 006≤0.

∵m∈N^*，

∴0＜m＜＜==45.5.

∴m=45.

于是，第45行第一個數(shù)是45²-45+1=1 981?，

∴m=+1=14.

∴2 007是45行的第14個數(shù).

(3)∵第n行第一個數(shù)是n²-n+1，且有n個數(shù)，若將n²-n+1看成第n行第一個數(shù)，則第n行各數(shù)成公差為2的等差數(shù)列，故b_n=n(n²-n+1)+×2=n³.

∴f(b_n)=()ⁿ=n()ⁿ.

故S_n=+2()²+3()³+…+(n-1)()^n-1+n()ⁿ,

S_n=()²+()³+()⁴+…+(n-1)()ⁿ+n()ⁿ⁺¹,

兩式相減得

S_n=+()²+()³+…+()ⁿ-n()ⁿ⁺¹=-n()ⁿ⁺¹

=1-()ⁿ-n()n+1,∴S_n=2-(n+2)()ⁿ.