Question

把正奇數數列{2n-1}中的數按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數表：
    1
  3    5
7    9   11
…
…
設a_mn（m，n∈N^*）是位于這個三角形數表中從上往下數第m行、從左往右數第n個數．
（1）若a_mn=2011，求m，n的值；
（2）若記三角形數表中從上往下數第n行各數的和為b_n，求證

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜

5

4

．

Answer 1

分析：（1）由已知可得：三角形數表中前m行共有1+2+3+…+m=

m(m+1)

2

個數，于是第m行最后一個數應當是所給奇數列中的第

m(m+1)

2

項．故第m行最后一個數是2×

m(m+1)

2

-1=m²+m-1．  因此，使得a_mn=1011的m是不等式m²+m-1≥2011的最小正整數解．解出即可得到m．于是，第45行第一個數是44²+44-1+2=1981，再利用等差數列的通項公式即可得出m．
（2）由于第n行最后一個數是n²+n-1，且有n個數，所以若將n²+n-1看成第n行第一個數，則第n行各數成公差為-2的等差數列，故bn=n(n2+n-1)+

n(n-1)

2

×(-2)=n³．利用放縮法和裂項求和可得

1

bn

=

1

n3

＜

1

(n-1)n(n+1)

=

1

2

[

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]，（n≥2）即可證明．

解答：解：（1）∵三角形數表中前m行共有1+2+3+…+m=

m(m+1)

2

個數，
∴第m行最后一個數應當是所給奇數列中的第

m(m+1)

2

項．
故第m行最后一個數是2×

m(m+1)

2

-1=m²+m-1．    
因此，使得a_mn=1011的m是不等式m²+m-1≥2011的最小正整數解．
化為m²+m-2012≥0，∴m≥

-1+ 1+8048

2

＞

-1+ 7921

2

=

-1+89

2

=44，
∴m=45．
于是，第45行第一個數是44²+44-1+2=1981，
∴n=

2011-1981

2

+1=16．
∴m=45，n=16．
（2）∵第n行最后一個數是n²+n-1，且有n個數，
若將n²+n-1看成第n行第一個數，則第n行各數成公差為-2的等差數列，
故bn=n(n2+n-1)+

n(n-1)

2

×(-2)=n³．
∴

1

bn

=

1

n3

＜

1

(n-1)n(n+1)

=

1

2

[

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]，（n≥2）
∴

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜1+

1

2

[(

1

1×2

-

1

2×3

)+(

1

2×3

-

1

3×4

)+…+(

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

)]
=1+

1

2

[

1

2

-

1

n(n+1)

]＜1+

1

4

=

5

4

．

點評：熟練掌握等差數列的通項公式、前n項和公式、一元二次不等式的解法、放縮法、裂項求和等是解題的關鍵．