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【題目】在平面直角坐標系內，動點到定點的距離與到定直線的距離之比為

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）若軌跡上的動點到定點的距離的最小值為1，求的值；

（3）設點、是軌跡上兩個動點，直線、與軌跡的另一交點分別為、，且直線、的斜率之積等于，問四邊形的面積是否為定值？請說明理由

【答案】（1）；（2）；（3）是定值，面積

【解析】

（1）由兩點間距離公式和點到直線距離公式即可求出動點的軌跡的方程;

（2）利用兩點間距離公式能求出.討論在和,取得最小值為1時,其對應的是否在,即可得出答案.

（3）設, ,由,得,由點,在橢圓上,得,由此利用點到直線的距離公式、橢圓的對稱性,結合已知條件能即可求出出四邊形面積的定值.

（1）設

∵動點到定點的距離與到定直線的距離之比為

∴

化簡得:

動點的軌跡的方程為:

（2）設

由兩點間距離公式得:

①當,即時,

時,取得最小值 解得: 即

此時 ,故舍去.

②當 即:時

時, 取得最小值 解得:,(舍去)

綜上所述: .

（3）設,

整理可得:

點,在橢圓上

,

化簡可得:

直線的直線方程為

點到直線的距離

的面積:

四邊形的面積為定值

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，傾斜角為的直線經過坐標原點，曲線的參數方程為（為參數）.以點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求與的極坐標方程；

（2）設與的交點為、，與的交點為、，且，求值.

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【題目】已知單調遞增的等比數列滿足,且是的等差中項.

(Ⅰ)求數列的通項公式；

(Ⅱ)若,對任意正數數， 恒成立，試求的取值范圍.

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【題目】若函數滿足:對于任意正數，都有，且，則稱函數為“L函數”．

（1）試判斷函數與是否是“L函數”；

（2）若函數為“L函數”，求實數a的取值范圍；

（3）若函數為“L函數”，且，求證：對任意，都有．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某市環(huán)保部門對市中心每天的環(huán)境污染情況進行調查研究后，發(fā)現一天中環(huán)境綜合污染指數與時刻（時）的關系為，，其中是與氣象有關的參數，且．若用每天的最大值為當天的綜合污染指數，并記作．

（1）令，，求的取值范圍；

（2）求的表達式，并規(guī)定當時為綜合污染指數不超標，求當在什么范圍內時，該市市中心的綜合污染指數不超標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某地擬建造一座體育館，其設計方案側面的外輪廓線如圖所示：曲線是以點為圓心的圓的一部分，其中，是圓的切線，且，曲線是拋物線的一部分，，且恰好等于圓的半徑.

（1）若米，米，求與的值；

（2）若體育館側面的最大寬度不超過75米，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在長方體中，，點E是棱上的一個動點，若平面交棱于點，給出下列命題：

①四棱錐的體積恒為定值；

②存在點，使得平面；

③對于棱上任意一點，在棱上均有相應的點，使得平面；

④存在唯一的點，使得截面四邊形的周長取得最小值.

其中真命題的是____________．（填寫所有正確答案的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數的定義域恰是不等式的解集，其值域為，函數的定義域為，值域為.

（1）求定義域和值域；

（2）試用單調性的定義法解決問題：若存在實數，使得函數在上單調遞減，上單調遞增，求實數的取值范圍并用表示；

（3）是否存在實數，使成立？若存在，求實數的取值范圍，若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若平面直角坐標系內兩點，滿足條件：①點，都在函數的圖像上；②點，關于原點對稱.則稱是函數的一個“伙伴點組”（點組與看作同一個“伙伴點組”）．已知函數有兩個“伙伴點組”，則實數的取值范圍是__________．

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