Question

【題目】若函數(shù)滿(mǎn)足:對(duì)于任意正數(shù)，都有，且，則稱(chēng)函數(shù)為“L函數(shù)”．

（1）試判斷函數(shù)與是否是“L函數(shù)”；

（2）若函數(shù)為“L函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若函數(shù)為“L函數(shù)”，且，求證：對(duì)任意，都有．

Answer 1

【答案】（1）是“L函數(shù)”. 不是“L函數(shù)”.（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】（1）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，

又，所以，

故是“L函數(shù)”.

對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，

故不是“L函數(shù)”.

（2）當(dāng)時(shí)，由是“L函數(shù)”，

可知，即對(duì)一切正數(shù)恒成立，

又，可得對(duì)一切正數(shù)恒成立，所以．

由，可得，

故，又，故，

由對(duì)一切正數(shù)恒成立，可得，即．

綜上可知，a的取值范圍是．

（3）由函數(shù)為“L函數(shù)”， 可知對(duì)于任意正數(shù)，

都有，且，

令，可知，即，

故對(duì)于正整數(shù)k與正數(shù)，都有

，

對(duì)任意，可得，又，

所以，

同理，

故 ．