【題目】設(shè)n為正整數(shù),集合A=.對(duì)于集合A中的任意元素和,記
M()=.
(Ⅰ)當(dāng)n=3時(shí),若, ,求M()和M()的值;
(Ⅱ)當(dāng)n=4時(shí),設(shè)B是A的子集,且滿足:對(duì)于B中的任意元素,當(dāng)相同時(shí),M()是奇數(shù);當(dāng)不同時(shí),M()是偶數(shù).求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值;
(Ⅲ)給定不小于2的n,設(shè)B是A的子集,且滿足:對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素,
M()=0.寫出一個(gè)集合B,使其元素個(gè)數(shù)最多,并說(shuō)明理由.
【答案】(1) M(α,β)=1
(2) 最大值為4
(3)答案見(jiàn)解析
【解析】分析:(1)根據(jù)定義對(duì)應(yīng)代入可得M()和M()的值;(2)先根據(jù)定義得M(α,α)= x1+x2+x3+x4.再根據(jù)x1,x 2,x3,x4∈{0,1},且x1+x2+x3+x4為奇數(shù),確定x1,x 2,x3,x4中1的個(gè)數(shù)為1或3.可得B元素最多為8個(gè),再根據(jù)當(dāng)不同時(shí),M()是偶數(shù)代入驗(yàn)證,這8個(gè)不能同時(shí)取得,最多四個(gè),最后取一個(gè)四元集合滿足條件,即得B中元素個(gè)數(shù)的最大值;(3)因?yàn)?/span>M()=0,所以不能同時(shí)取1,所以取共n+1個(gè)元素,再利用A的一個(gè)拆分說(shuō)明B中元素最多n+1個(gè)元素,即得結(jié)果.
詳解:解:(Ⅰ)因?yàn)?/span>α=(1,1,0),β=(0,1,1),所以
M(α,α)= [(1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)]=2,
M(α,β)= [(1+0–|10|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1.
(Ⅱ)設(shè)α=(x1,x 2,x3,x4)∈B,則M(α,α)= x1+x2+x3+x4.
由題意知x1,x 2,x3,x4∈{0,1},且M(α,α)為奇數(shù),
所以x1,x 2,x3,x4中1的個(gè)數(shù)為1或3.
所以B{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}.
將上述集合中的元素分成如下四組:
(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1).
經(jīng)驗(yàn)證,對(duì)于每組中兩個(gè)元素α,β,均有M(α,β)=1.
所以每組中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素.
所以集合B中元素的個(gè)數(shù)不超過(guò)4.
又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}滿足條件,
所以集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值為4.
(Ⅲ)設(shè)Sk=( x1,x 2,…,xn)|( x1,x 2,…,xn)∈A,xk=1,x1=x2=…=xk–1=0)(k=1,2,…,n),
Sn+1={( x1,x 2,…,xn)| x1=x2=…=xn=0},
則A=S1∪S1∪…∪Sn+1.
對(duì)于Sk(k=1,2,…,n–1)中的不同元素α,β,經(jīng)驗(yàn)證,M(α,β)≥1.
所以Sk(k=1,2 ,…,n–1)中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素.
所以B中元素的個(gè)數(shù)不超過(guò)n+1.
取ek=( x1,x 2,…,xn)∈Sk且xk+1=…=xn=0(k=1,2,…,n–1).
令B=(e1,e2,…,en–1)∪Sn∪Sn+1,則集合B的元素個(gè)數(shù)為n+1,且滿足條件.
故B是一個(gè)滿足條件且元素個(gè)數(shù)最多的集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).
(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查,試用所學(xué)知識(shí)說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性;
附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,),則P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了保護(hù)學(xué)生的視力,課桌和椅子的高度都是按一定的關(guān)系配套設(shè)計(jì)的,研究表明:假設(shè)課桌的高度為,椅子的高度為,則y應(yīng)是x的一次函數(shù),下表列出兩套符合條件的課桌和椅子的高度:
第一套 | 第二套 | |
椅子高度 | 40.0 | 37.0 |
課桌高度 | 75.0 | 70.2 |
(1)請(qǐng)你確定y與x的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍);
(2)現(xiàn)有一把高42.0 cm的椅子和一張高78.2cm的課桌,它們是否配套?為什么?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),已知,且,則使得成立的的取值范圍是
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中,已知底面ABCD是菱形,點(diǎn)P是側(cè)棱C1C的中點(diǎn).
(1)求證:AC1∥平面PBD;
(2)求證:BD⊥A1P.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xex﹣ax2﹣x;
(1)若f(x)在x=﹣1處取得極值,求a的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在《周易》中,長(zhǎng)橫“ ”表示陽(yáng)爻,兩個(gè)短橫“ ”表示陰爻,有放回地取陽(yáng)爻和陰爻三次合成一卦,共有種組合方法,這便是《系辭傳》所說(shuō):“太極生兩儀,兩儀生四象,四象生八卦”,有放回地取陽(yáng)爻和陰爻一次有2種不同的情況,有放回地取陽(yáng)爻和陰爻兩次有四種不同的情況,有放回地取陽(yáng)爻和陰爻三次有八種不同的情況,即為八卦,在一次卜卦中,恰好出現(xiàn)兩個(gè)陽(yáng)爻一個(gè)陰爻的概率是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,垂直于所在的平面,為的直徑,是弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),為上一點(diǎn),且是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合).
(1)求證:平面;
(2)若是弧的中點(diǎn),是銳角,且三棱錐的體積為,求的值.
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