Question

【題目】如圖，垂直于所在的平面，為的直徑，是弧上的一個(gè)動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），為上一點(diǎn)，且是線段上的一個(gè)動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）.

（1）求證：平面；

（2）若是弧的中點(diǎn)，是銳角，且三棱錐的體積為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）由為的直徑，得到，又由平面，證得，利用線面垂直的判定定理得到平面，再利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.

（2）當(dāng)點(diǎn)位于線段上時(shí)，如圖所示：作，垂足為點(diǎn)，根據(jù)線面垂直的判定定，證得平面，得到是三棱錐的底面上的高，再來體積公式，列出方程，即可求解.

（1）證明：因?yàn)?/span>為的直徑，

所以根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可知，

因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

又因?yàn)?/span>平面平面，所以平面，

又平面，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）當(dāng)點(diǎn)位于線段上時(shí)，如圖所示：作，垂足為點(diǎn)，

因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>平面，所以平面，

所以是三棱錐的底面上的高，

因?yàn)?/span>是弧的中點(diǎn)，且，

所以，且，

若三棱錐的體積為，

則，解得，

所以，所以，

所以，

綜上所述，當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，.