設(shè)點M(x,y)到直線x=4的距離與它到定點(2,0)的距離之比為
2
,并記點M的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過點(2,0)作直線l與曲線C相交于A、B兩點,問C上是否存在點P,使得
OP
=
OA
+
OB
成立?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
(Ⅰ)由題意可得:
|x-4|
(x-2)2+y2
=
2
,整理得C:
x2
8
+
y2
4
=1

(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知l的斜率一定不為0,故不妨設(shè)l:x=my+2.
代入C的方程,并整理得(m2+2)y2+4my-4=0,顯然△>0.
由韋達定理有:y1+y2=-
4m
m2+2
,y1y2=-
4
m2+2
,①
假設(shè)存在點P,使
OP
=
OA
+
OB
成立,則其充要條件為:
點P的坐標(biāo)為(x1+x2,y1+y2),點P在橢圓上,即
(x1+x2)2
8
+
(y1+y2)2
4
=1

整理得
x21
+2
y21
+
x22
+2
y22
+2x1x2+4y1y2=8

又A、B在橢圓上,即
x21
+2
y21
=8
,
x22
+2
y22
=8

故x1x2+2y1y2+4=0        ②
將x1x2=(my1+2)(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4及①代入②解得m2=2.
y1+y2=
2
-
2
x1+x2=-
4m2
m2+2
+4
=2,即點P(2,±
2
)
.     
所以,存在點P,使得
OP
=
OA
+
OB
,
這時直線l的方程為x-
2
y-2=0
x+
2
y-2=0
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)點M(x,y)到直線x=4的距離與它到定點(1,0)的距離之比為2,并記點M的軌跡曲線為C.
(I)求曲線C的方程;
(II)設(shè)過定點(0,2)的直線l與曲線C交于不同的兩點E,F(xiàn),且∠EOF=90°(其中O為坐標(biāo)原點),求直線l的斜率k的值;
(III)設(shè)A(2,0),B(0,
3
)是曲線C的兩個頂點,直線y=mx(x>0)與線段AB相交于點D,與橢圓相交于E,F(xiàn)兩點,求四邊形AEBF面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•許昌一模)設(shè)點M(x,y)到直線x=4的距離與它到定點(2,0)的距離之比為
2
,并記點M的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過點(2,0)作直線l與曲線C相交于A、B兩點,問C上是否存在點P,使得
OP
=
OA
+
OB
成立?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•濟寧二模)設(shè)點P(x,y)到直線x=2的距離與它到定點(1,0)的距離之比為
2
,并記點P的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)M(-2,0)的,過點M的直線l與曲線C相交于E,F(xiàn)兩點,當(dāng)線段EF的中點落在由四點C1(-1,0),C2(1,0),B1(0,-1),B2(0,1)構(gòu)成的四邊形內(nèi)(不包括邊界)時,求直線l斜率的取值范圍.

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設(shè)點M(x,y)到直線x=4的距離與它到定點(2,0)的距離之比為,并記點M的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過點(2,0)作直線l與曲線C相交于A、B兩點,問C上是否存在點P,使得=+成立?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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設(shè)點M(x,y)到直線x=4的距離與它到定點(1,0)的距離之比為2,并記點M的軌跡曲線為C.
(I)求曲線C的方程;
(II)設(shè)過定點(0,2)的直線l與曲線C交于不同的兩點E,F(xiàn),且∠EOF=90°(其中O為坐標(biāo)原點),求直線l的斜率k的值;
(III)設(shè)A(2,0),B(0,)是曲線C的兩個頂點,直線y=mx(x>0)與線段AB相交于點D,與橢圓相交于E,F(xiàn)兩點,求四邊形AEBF面積的最大值.

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