【題目】已知函數(shù),直線是曲線的一條切線.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若對任意的x(0,),都有,求整數(shù)k的最大值.
【答案】(1)1(2)3
【解析】
(1)設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo),利用斜率和切點(diǎn)在直線上列方程組,解方程組求得切點(diǎn)的坐標(biāo)以及的值.(2)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得當(dāng)時(shí)函數(shù)的最小值大于零,當(dāng)函數(shù)值的最小值小于零,由此求得點(diǎn)的最大整數(shù)值為.
解:(1)設(shè)切點(diǎn)P(m,mlnm+am+1),
由f ′(x)=lnx+1+a
知 f(m)=lnm+1+a.
則在點(diǎn)P處的切線l方程為:y=(lnm+1+a)x-m+1.
若與題目中的切線重合,則必有,
解得a=m=1,
所以a的值為1.
(2) 令F(x)=f(x)-k(x-1),
則根據(jù)題意,等價(jià)于F(x)>0對任意的正數(shù)x恒成立.
F ′(x)=lnx+2-k,
令F ′(x)=0,則x=ek-2 .
當(dāng)0<x<ek-2 ,則F ′(x)<0,F(x)在(0,ek-2)上單減;
當(dāng)x>ek-2 ,則F ′(x)>0,F(x)在(ek-2,+∞)上單增.
所以有F(x)=F(ek-2) >0,即ek-2-k-1<0.
當(dāng)k=3,容易驗(yàn)證,ek-2-k-1<0;
下證:當(dāng)k≥4,ek-2-k-1>0成立.
令h(x)=ex-2-x-1,x≥4,
則h ′(x)=ex-2-1≥0,對任意的x≥4恒成立。
于是h(x)在[4,+∞)上單增,
故h(x)=h(4)=e2-5>0;
所以對于任意的x≥4,ex-2-x-1>0.
綜上,k的最大值為3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)求函數(shù)的極值;
(2)若在上為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;
(3)設(shè),若在上至少存在一個(gè),使得成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為美化城市環(huán)境,相關(guān)部門需對一半圓形中心廣場進(jìn)行改造出新,為保障市民安全,施工隊(duì)對廣場進(jìn)行圍擋施工.如圖,圍擋經(jīng)過直徑的兩端點(diǎn)A,B及圓周上兩點(diǎn)C,D圍成一個(gè)多邊形ABPQR,其中AR,RQ,QP,PB分別與半圓相切于點(diǎn)A,D,C,B.已知該半圓半徑OA長30米,∠COD為60°,設(shè)∠BOC為.
(1)求圍擋內(nèi)部四邊形OCQD的面積;
(2)為減少對市民出行的影響,圍擋部分面積要盡可能小.求該圍擋內(nèi)部多邊形ABPQR面積的最小值?并寫出此時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】青島市黃島區(qū)金沙灘海濱浴場是一個(gè)受廣大沖浪愛好者喜愛的沖浪地點(diǎn).已知該海濱浴場的海浪高度是時(shí)間t(,單位:小時(shí))的函數(shù),記作.經(jīng)長期觀察,的曲線可近似地看成是函數(shù)的圖象,其中.用“五點(diǎn)法”函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表:
(1)請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,填寫在相應(yīng)位置,并求出函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)依據(jù)規(guī)定,當(dāng)海浪高度高于1m時(shí)才對沖浪愛好者開放,請依據(jù)(1)中的結(jié)論,判斷一天內(nèi)的上午8:00到晚上20:00之間有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了分析某個(gè)高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),對其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議.現(xiàn)對他前7次考試的數(shù)學(xué)成績、物理成績進(jìn)行分析.下面是該生7次考試的成績.
數(shù)學(xué) | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
(1)他的數(shù)學(xué)成績與物理成績哪個(gè)更穩(wěn)定?請給出你的證明;
(2)已知該生的物理成績與數(shù)學(xué)成績是線性相關(guān)的,若該生的物理成績達(dá)到115分,請你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成績大約是多少?并請你根據(jù)物理成績與數(shù)學(xué)成績的相關(guān)性,給出該生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理建議.
參考公式:方差公式:,其中為樣本平均數(shù).,。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是定義在上的奇函數(shù),且.
(1)求的解析式;
(2)判斷的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(3)解不等式 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋子中有四個(gè)小球,分別寫有“文、明、中、國”四個(gè)字,有放回地從中任取一個(gè)小球,直到“中”“國”兩個(gè)字都取到就停止,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),分別用0,1,2,3代表“文、明、中、國”這四個(gè)字,以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,表示取球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù):
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 013 320 122 103 233
由此可以估計(jì),恰好第三次就停止的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分16分)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度,長度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米,且.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元,半球形部分每平方米建造費(fèi)用為()千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元.
(1)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求該函數(shù)的定義域;
(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖的折線圖為某小區(qū)小型超市今年一月份到五月份的營業(yè)額和支出數(shù)據(jù)(利潤=營業(yè)額-支出),根據(jù)折線圖,下列說法中正確的是( )
A.該超市這五個(gè)月中,利潤隨營業(yè)額的增長在增長
B.該超市這五個(gè)月中,利潤基本保持不變
C.該超市這五個(gè)月中,三月份的利潤最高
D.該超市這五個(gè)月中的營業(yè)額和支出呈正相關(guān)
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