設函數

其中

,曲線

在點

處的切線方程為

.
(I)確定

的值;
(II)設曲線

在點

處的切線都過點(0,2).證明:當

時,

;
(III)若過點(0,2)可作曲線

的三條不同切線,求

的取值范圍.
(I)

,

;(II)詳見試題解析;(III)

的取值范圍是

.
試題分析:(I)根據導數的幾何意義,首先對函數

求導,可得

,由已知:曲線

在點

處的切線方程為

,從而可得

的值及

,又

,故得

;(II)先利用導數的幾何意義,求出

在點

處的切線方程為

,而點

在切線上,所以

,化簡即得

滿足的方程為

,下面利用反證法明當

時,

;(III)由(II)知,過點

可作

的三條切線,等價于方程

有三個相異的實根,即等價于方程

有三個相異的實根.構造函數

,利用導數求函數

的極大值、極小值,只要

的極大值與極小值異號即可,解這個不等式組即可求得

的取值范圍.
試題解析:(I)由

又由曲線

處的切線方程為

,得

故

(II)

處的切線方程為

,而點

在切線上,所以

,化簡得

,即

滿足的方程為

.
下面用反證法證明:假設

處的切線都過點

,則下列等式成立.

由(3)得

又

,故由(4)得

,此時

與

矛盾,

.
(III)由(II)知,過點

可作

的三條切線,等價于方程

有三個相異的實根,即等價于方程

有三個相異的實根.
設

,則

,由于

,故有
由

的單調性知:要使

有三個相異的實根,當且僅當

<0,

.

的取值范圍是

.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數學
來源:不詳
題型:解答題
設函數

.
(1)研究函數

的極值點;
(2)當

時,若對任意的

,恒有

,求

的取值范圍;
(3)證明:

.
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科目:高中數學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數

.
(Ⅰ)當

時,

恒成立,求實數

的取值范圍;
(Ⅱ)若對一切

,

恒成立,求實數

的取值范圍.
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科目:高中數學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數

(1)寫出函數

的單調區(qū)間;
(2)若

在

恒成立,求實數

的取值范圍;
(3)若函數

在

上值域是

,求實數

的取值范圍.
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科目:高中數學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數

(

).
(1)求

的單調區(qū)間;
⑵如果

是曲線

上的任意一點,若以

為切點的切線的斜率

恒成立,求實數

的最小值;
⑶討論關于

的方程

的實根情況.
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科目:高中數學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數

,

是大于零的常數.
(Ⅰ)當

時,求

的極值;
(Ⅱ)若函數

在區(qū)間

上為單調遞增,求實數

的取值范圍;
(Ⅲ)證明:曲線

上存在一點

,使得曲線

上總有兩點

,且

成立.
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科目:高中數學
來源:不詳
題型:填空題
函數

在區(qū)間

上恰有一個零點,則實數

的取值范圍是_____.
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科目:高中數學
來源:不詳
題型:單選題
已知函數

是定義在實數集R上的奇函數,且

成立(其中

的導函數),若

,則a,b,c的大小關系是( )
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科目:高中數學
來源:不詳
題型:填空題
下列圖象中,有一個是函數

的導數

的圖象,則

的值為
.

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