Question

已知函數(shù)（）．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
⑵如果是曲線上的任意一點，若以為切點的切線的斜率恒成立，求實數(shù)的最小值；
⑶討論關(guān)于的方程的實根情況．

Answer 1

(1)單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；(2)；(3)見解析.

試題分析：(1)先由對數(shù)函數(shù)的定義求出函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求解；(2)先寫出切點處的切線的斜率，然后根據(jù)已知條件得到，則有，結(jié)合二次函數(shù)在區(qū)間上的圖像與性質(zhì)，可得的最小值；(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，將方程的實根的情況轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題.由函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即最大值是，分三種情況進行討論：當，函數(shù)的圖象與軸恰有兩個交點；當時，函數(shù)的圖象與軸恰有一個交點；當時，函數(shù)的圖象與軸無交點.由方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系得解.
試題解析：(1)，定義域為，
則，
∵，
由得，；由得，.
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.                 2分
(2)由題意，以為切點的切線的斜率滿足：
，
所以對恒成立．
又當時，，
所以的最小值為.                                7分．
(3)由題意，方程化簡得：
.
令，則．
當時，；當時，.
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
所以在處取得極大值即最大值，最大值為．
所以當，即時，的圖象與軸恰有兩個交點，
方程有兩個實根；
當時，的圖象與軸恰有一個交點，
方程有一個實根；
當時，的圖象與軸無交點，
方程無實根.                     12分